大阪大学 1980年 理系 第4問 解説

方針・初手

袋の中に入っている玉の組み合わせは限られているため、考えられる状態を分類し、1回の操作による状態の遷移確率を求める。袋の玉の構成が「赤1個・白1個」以外の状態になったとき、次の操作でどのような状態へ遷移するかに注目すると、余事象の確率を用いて簡潔な漸化式を立てることができる。

解法1

(1)

2つの袋をそれぞれA, Bとする。玉の総数は赤玉2個、白玉2個であるから、一方の袋の中身が決まればもう一方の袋の中身も自動的に決まる。したがって、袋Aに入っている玉の組み合わせのみに注目して、以下の3つの状態を定義する。

• 状態X：赤玉1個、白玉1個（このとき袋Bも赤玉1個、白玉1個）
• 状態Y：赤玉2個（このとき袋Bは白玉2個）
• 状態Z：白玉2個（このとき袋Bは赤玉2個）

$n$ 回目の操作後に袋Aが状態X, Y, Zにある確率をそれぞれ $p_n$, $q_n$, $r_n$ とする。 確率の総和より、任意の自然数 $n$ について以下が成り立つ。

$$ p_n + q_n + r_n = 1 $$

$n-1$ 回目の操作から $n$ 回目の操作によって状態がどのように推移するかを考える。

(i)

$n-1$ 回目に状態Xである場合 袋A, Bそれぞれに赤玉1個、白玉1個が入っている。 互いの袋から同じ色の玉を取り出して入れ替えた場合のみ、再び状態Xとなる。 同じ色となるのは「両方から赤玉」または「両方から白玉」を取り出す場合であり、その確率は以下のようになる。

$$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

(ii)

$n-1$ 回目に状態Yである場合 袋Aには赤玉2個、袋Bには白玉2個が入っている。 袋Aからは必ず赤玉が、袋Bからは必ず白玉が取り出される。これらを入れ替えると、袋Aは赤玉1個と白玉1個になるため、確率 $1$ で状態Xに推移する。

(iii)

$n-1$ 回目に状態Zである場合 袋Aには白玉2個、袋Bには赤玉2個が入っている。 （ii） と同様に、袋Aからは必ず白玉が、袋Bからは必ず赤玉が取り出される。これらを入れ替えると、袋Aは赤玉1個と白玉1個になるため、確率 $1$ で状態Xに推移する。

以上より、$n \geqq 2$ において、状態Xになる確率 $p_n$ は次のように表される。

$$ p_n = \frac{1}{2} p_{n-1} + 1 \cdot q_{n-1} + 1 \cdot r_{n-1} $$

ここで、$q_{n-1} + r_{n-1} = 1 - p_{n-1}$ であるから、これを代入する。

$$ p_n = \frac{1}{2} p_{n-1} + (1 - p_{n-1}) = -\frac{1}{2} p_{n-1} + 1 $$

(2)

(1)で求めた漸化式を変形する。特性方程式 $\alpha = -\frac{1}{2}\alpha + 1$ を解くと $\alpha = \frac{2}{3}$ となるため、次のように変形できる。

$$ p_n - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2} \left( p_{n-1} - \frac{2}{3} \right) $$

ここで、1回目の操作で状態Xになる確率 $p_1$ を求める。 はじめの段階（0回目の操作後とみなせる）は各袋に赤玉1個と白玉1個が入っている状態Xである。(1)の （i） の考察と同様に、状態Xから1回の操作後に再び状態Xとなる確率は $\frac{1}{2}$ であるため、$p_1 = \frac{1}{2}$ である。

これより、数列 $\left\{ p_n - \frac{2}{3} \right\}$ は、初項 $p_1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列であることがわかる。一般項は以下のようになる。

$$ p_n - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

$$ p_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right) \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

また、$n \to \infty$ のとき $\left(-\frac{1}{2}\right)^n \to 0$ であるから、極限値は次のようになる。

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{2}{3} $$

解説

状態の遷移確率を考えて漸化式を作る、確率漸化式の典型的な問題である。 各袋の玉の数が常に2個であるという条件から、起こり得る状態が極めて限定的であることに気付くのがポイントとなる。特に、「各袋に赤玉・白玉が1つずつ入っていない状態（＝一方の袋が同色2個になる状態）」からは、1回の操作で必ず「各袋に赤玉・白玉が1つずつ入っている状態」へ戻るという強力な性質がある。これを利用し、$p_n$ の余事象の確率 $1-p_n$ を用いて1つの文字だけで漸化式を立てる処理が有効である。

答え

(1)

$$ p_n = -\frac{1}{2} p_{n-1} + 1 $$

(2)

$$ p_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{2}{3} $$