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大阪大学 1979年理系第5問解説

方針・初手

カードの総数を求め、それぞれの数字が書かれたカードの枚数を把握することから始める。確率は「（特定の事象が起こる場合の数）／（全体の場合の数）」として計算する。期待値は定義に従って和を計算する。後半は非復元抽出であることに注意し、余事象を利用して計算を簡略化する。

解法1

箱の中に入っているカードの総数を $N$ とおく。数字 $k$ が書かれたカードは $k$ 枚あるので、$N$ は $1$ から $n$ までの整数の和である。

$$ N = \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1) $$

(1)

$X=k$ となるのは、$N$ 枚のカードの中から $k$ と書かれたカードを引く場合である。そのようなカードは $k$ 枚あるので、求める確率は

$$ P(X=k) = \frac{k}{N} = \frac{k}{\frac{1}{2}n(n+1)} = \frac{2k}{n(n+1)} $$

(2)

$X$ の期待値 $E(X)$ は、期待値の定義にしたがって計算する。

$$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^n k P(X=k) \\ &= \sum_{k=1}^n k \cdot \frac{2k}{n(n+1)} \\ &= \frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n k^2 \\ &= \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ &= \frac{2n+1}{3} \end{aligned} $$

(3)

「さらにもう1枚」とあるので、これは非復元抽出（1枚目をもとに戻さずに2枚目を引くこと）である。

$X$ と $Y$ の少なくとも一方が $n$ である確率を求める。この余事象は「$X$ と $Y$ がどちらも $n$ ではない」ことである。

箱の中の $N$ 枚のカードのうち、$n$ と書かれたカードは $n$ 枚、それ以外のカードは $N-n$ 枚ある。

$$ N-n = \frac{1}{2}n(n+1) - n = \frac{1}{2}n(n-1) $$

1枚目に $n$ 以外を引き、2枚目にも $n$ 以外を引く確率を考える。

$$ P(\text{どちらも } n \text{ ではない}) = \frac{N-n}{N} \cdot \frac{N-n-1}{N-1} $$

ここで、それぞれの項を $n$ を用いて表す。

$$ \frac{N-n}{N} = \frac{\frac{1}{2}n(n-1)}{\frac{1}{2}n(n+1)} = \frac{n-1}{n+1} $$

$$ \begin{aligned} \frac{N-n-1}{N-1} &= \frac{\frac{1}{2}n(n-1)-1}{\frac{1}{2}n(n+1)-1} \\ &= \frac{n^2-n-2}{n^2+n-2} \\ &= \frac{(n-2)(n+1)}{(n+2)(n-1)} \end{aligned} $$

$n \geqq 2$ より $n-1 \neq 0$、$n+1 \neq 0$ であるから、これらを掛け合わせて整理する。

$$ P(\text{どちらも } n \text{ ではない}) = \frac{n-1}{n+1} \cdot \frac{(n-2)(n+1)}{(n+2)(n-1)} = \frac{n-2}{n+2} $$

したがって、求める確率は余事象の確率を $1$ から引いて、

$$ 1 - \frac{n-2}{n+2} = \frac{n+2 - (n-2)}{n+2} = \frac{4}{n+2} $$

解法2

（3）の別解（直接計算する方針）

$N$ 枚のカードから同時に2枚のカードを取り出すと考えても、求める確率は同じである。 2枚のカードを取り出す引き方の総数は ${}_N\mathrm{C}_{2}$ 通りである。

$$ \begin{aligned} {}_N\mathrm{C}_{2} &= \frac{1}{2}N(N-1) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}n(n+1) \left( \frac{1}{2}n(n+1) - 1 \right) \\ &= \frac{1}{4}n(n+1) \cdot \frac{n^2+n-2}{2} \\ &= \frac{1}{8}n(n-1)(n+1)(n+2) \end{aligned} $$

「少なくとも一方が $n$ である」という事象は、「1枚が $n$ でもう1枚が $n$ 以外」または「2枚とも $n$」の場合に分けられる。これらは互いに排反であり、その場合の数の和は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} {}_n\mathrm{C}_{1} \cdot {}_{N-n}\mathrm{C}_{1} + {}_n\mathrm{C}_{2} &= n \cdot \frac{1}{2}n(n-1) + \frac{1}{2}n(n-1) \\ &= \frac{1}{2}n(n-1) (n + 1) \end{aligned} $$

したがって、求める確率は

$$ \frac{\frac{1}{2}n(n-1)(n+1)}{\frac{1}{8}n(n-1)(n+1)(n+2)} = \frac{4}{n+2} $$

解説

確率の基本である「全体の場合の数」と「対象となる場合の数」を正確に数え上げる問題である。 (1)ではカードの総数 $N$ が等差数列の和として $\frac{1}{2}n(n+1)$ となることを見抜くのが第一歩となる。 (2)の期待値の計算では、$\sum k^2$ の公式を正しく用いる計算力が問われている。 (3)は「少なくとも一方が～」という条件から余事象を考えるのが定石であるが、直接計算（解法2）でも因数分解を丁寧に行えばそれほど手間はかからない。問題文の「さらにもう1枚」という表現から、非復元抽出であることを読み落とさないように注意が必要である。