東北大学 1973年 文系 第4問 解説

方針・初手

座標軸を原点のまわりに正の向きに $\pi/3$ 回転した新しい座標 $(X,Y)$ を用いて、交差項 $xy$ を消す。

軸を $\theta=\pi/3$ だけ回転したときの座標変換は

$$ x=X\cos\theta-Y\sin\theta,\qquad y=X\sin\theta+Y\cos\theta $$

であるから、$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ を用いて

$$ x=\frac12X-\frac{\sqrt3}{2}Y,\qquad y=\frac{\sqrt3}{2}X+\frac12Y $$

をもとの式に代入する。

解法1

与えられた曲線は

$$ x^2+3y^2+2\sqrt3xy-2(6+\sqrt3)x+2(1-6\sqrt3)y+20=0 $$

である。

ここに

$$ x=\frac12X-\frac{\sqrt3}{2}Y,\qquad y=\frac{\sqrt3}{2}X+\frac12Y $$

を代入して整理すると、

$$ 4X^2-24X+4Y+20=0 $$

となる。したがって

$$ X^2-6X+Y+5=0 $$

すなわち

$$ Y=-X^2+6X-5=-(X-3)^2+4 $$

である。

よって、①は $XY$ 座標では、頂点が $(3,4)$、軸が $X=3$、下に開く放物線として表される。

次に、この放物線と直線

$$ Y=-\frac12X+4 $$

で囲まれる部分の面積を求める。

まず交点を求めるため、

$$ -X^2+6X-5=-\frac12X+4 $$

を解く。整理すると

$$ 2X^2-13X+18=0 $$

であり、

$$ (2X-4)(X-\frac92)=0 $$

より

$$ X=2,\qquad X=\frac92 $$

を得る。

この区間では、放物線と直線の差は

$$ \left(-X^2+6X-5\right)-\left(-\frac12X+4\right) =-X^2+\frac{13}{2}X-9 $$

であり、$2<X<\frac92$ では正であるから、放物線が上側、直線が下側にある。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_2^{9/2}\left{\left(-X^2+6X-5\right)-\left(-\frac12X+4\right)\right},dX $$

すなわち

$$ S=\int_2^{9/2}\left(-X^2+\frac{13}{2}X-9\right),dX $$

である。積分すると

$$ S=\left[-\frac13X^3+\frac{13}{4}X^2-9X\right]_2^{9/2} =\frac{125}{48} $$

となる。

解説

この問題の要点は、回転によって二次曲線の $xy$ 項を消すことである。実際、回転後には放物線

$$ Y=-(X-3)^2+4 $$

となり、形が明確になる。

その後は直線との交点を求め、上の曲線から下の曲線を引いて定積分すればよい。回転によって曲線の本質的な形が見やすくなる典型問題である。

答え

①の曲線は $XY$ 座標で

$$ Y=-X^2+6X-5=-(X-3)^2+4 $$

と表される。したがって、頂点 $(3,4)$、軸 $X=3$、下に開く放物線である。

また、直線 $Y=-\frac12X+4$ とで囲まれる図形の面積は

$$ \frac{125}{48} $$

である。