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北海道大学 1975年文系第4問解説

方針・初手

(1) は2つのだ円の方程式を連立して解く。$x$ と $y$ が対称な形になっていることに着目し、辺々を引くことで簡潔に交点を導くことができる。
(2) は線分 $OA$ を直径とする円の方程式を求め、それが点 $P$ を通る条件として代入する。または、円周角の定理より $\vec{PO} \cdot \vec{PA} = 0$ となることを利用してもよい。
(3) は (2) の条件下における2曲線の上下関係を調べ、$x$ 軸まわりの回転体の体積の公式 $V = \pi \int y^2 dx$ を用いる。

解法1

(1)

だ円①、②の方程式はそれぞれ以下の通りである。

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \cdots \text{①} $$

$$ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad \cdots \text{②} $$

①から②を辺々引くと

$$ \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)x^2 + \left(\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2}\right)y^2 = 0 $$

$$ \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)(x^2 - y^2) = 0 $$

$a, b$ は相異なる正数であるから $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \neq 0$ であり、

$$ x^2 = y^2 $$

交点 $P$ は第1象限にあるため $x > 0, y > 0$ であり、$y = x$ となる。これを①に代入すると

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 $$

$$ x^2 \left(\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\right) = 1 $$

$$ x^2 = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $$

$x > 0$ より $x = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ となる。$y=x$ であるから、交点 $P$ の座標は

$$ P\left( \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) $$

(2)

線分 $OA$ を直径とする円の中心は $OA$ の中点 $\left(\frac{a}{2}, 0\right)$ であり、半径は $\frac{a}{2}$ である。したがって、この円の方程式は

$$ \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 $$

展開して整理すると

$$ x^2 - ax + y^2 = 0 \quad \cdots \text{③} $$

点 $P$ がこの円上にあるための条件は、$P$ の座標が③を満たすことである。 $P$ の $x$ 座標と $y$ 座標は等しいので、これを $p$ とおくと $p = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。③に代入して

$$ p^2 - ap + p^2 = 0 $$

$$ p(2p - a) = 0 $$

$p > 0$ であるから

$$ 2p - a = 0 \iff p = \frac{a}{2} $$

$p$ に元の式を代入して

$$ \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a}{2} $$

両辺を2乗すると

$$ \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} = \frac{a^2}{4} $$

$a > 0$ より両辺を $a^2$ で割ると

$$ \frac{b^2}{a^2+b^2} = \frac{1}{4} $$

$$ 4b^2 = a^2 + b^2 $$

$$ a^2 = 3b^2 $$

$a > 0, b > 0$ であるから

$$ a = \sqrt{3}b $$

(3)

(2) のとき、$a^2 = 3b^2$ より $b^2 = \frac{a^2}{3}$ であるから、だ円①の方程式は

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{3y^2}{a^2} = 1 \iff y^2 = \frac{1}{3}(a^2 - x^2) $$

また、円③の方程式から

$$ y^2 = ax - x^2 $$

区間 $\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$ におけるだ円と円の上下関係を調べるため、$y^2$ の差をとる。

$$ (ax - x^2) - \frac{1}{3}(a^2 - x^2) = -\frac{2}{3}x^2 + ax - \frac{1}{3}a^2 = -\frac{1}{3}(2x^2 - 3ax + a^2) = -\frac{1}{3}(2x - a)(x - a) $$

$\frac{a}{2} < x < a$ において、$2x - a > 0$ かつ $x - a < 0$ であるため、この差は正となる。したがって、この区間では円弧 $AP$ がだ円の弧 $AP$ の上側（$y$ 座標が大きい）にある。

求める回転体の体積 $V$ は、円弧による回転体の体積からだ円弧による回転体の体積を引いたものであるから

$$ V = \pi \int_{\frac{a}{2}}^{a} \left\{ (ax - x^2) - \frac{1}{3}(a^2 - x^2) \right\} dx $$

$$ V = \pi \int_{\frac{a}{2}}^{a} \left( -\frac{2}{3}x^2 + ax - \frac{1}{3}a^2 \right) dx $$

$$ V = \pi \left[ -\frac{2}{9}x^3 + \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}a^2x \right]_{\frac{a}{2}}^{a} $$

$x = a$ のときの値を計算すると

$$ -\frac{2}{9}a^3 + \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{3}a^3 = \frac{-4 + 9 - 6}{18}a^3 = -\frac{1}{18}a^3 $$

$x = \frac{a}{2}$ のときの値を計算すると

$$ -\frac{2}{9} \left(\frac{a}{2}\right)^3 + \frac{a}{2} \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \frac{1}{3}a^2 \left(\frac{a}{2}\right) = -\frac{1}{36}a^3 + \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{6}a^3 = \frac{-2 + 9 - 12}{72}a^3 = -\frac{5}{72}a^3 $$

よって

$$ V = \pi \left\{ -\frac{1}{18}a^3 - \left(-\frac{5}{72}a^3\right) \right\} = \pi \left( -\frac{4}{72}a^3 + \frac{5}{72}a^3 \right) = \frac{1}{72}\pi a^3 $$

解法2

(2)の別解

線分 $OA$ を直径とする円が点 $P$ を通るとき、円周角の定理より $\angle OPA = 90^\circ$ である。したがって、ベクトル $\vec{PO}$ と $\vec{PA}$ は垂直に交わるため、内積が $0$ となる。

$$ \vec{PO} \cdot \vec{PA} = 0 $$

ここで $P(p, p)$ （ただし $p = \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$）とおくと、$\vec{PO} = (-p, -p)$、$\vec{PA} = (a-p, -p)$ であるから

$$ -p(a-p) + (-p)(-p) = 0 $$

$$ -ap + p^2 + p^2 = 0 $$

$$ p(2p - a) = 0 $$

$p > 0$ より $p = \frac{a}{2}$ となる。以降の計算は解法1と同様であり、$a = \sqrt{3}b$ を得る。

解説

2つのだ円が関わる標準的な図形と方程式、および積分計算による体積の問題である。 (1) は $x$ と $y$ を入れ替えても方程式が変わらないことから、交点が直線 $y=x$ 上にあることを見抜くとスムーズに計算できる。 (2) は円周角の定理に着目してベクトルの内積を利用すると、円の方程式を直接扱うよりも計算が少なく済む（解法2）。 (3) は回転体の体積を求める問題において、2曲線の上下関係を正しく把握することが重要である。被積分関数の符号を調べることで、どちらの曲線が上にあるかを論理的に判定できる。定積分においては分数や文字が含まれるため、通分などの計算ミスに注意が必要である。