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東北大学 1963年理系第2問解説

方針・初手

半円の直径 $BC = 2R$ に対して円周角の定理を用いると $\triangle ABC$ は直角三角形となる。各辺の長さを文字で置き、幾何的な性質から $\alpha, \beta, r$ をこれらの文字と $R$ で表すことを目指す。特に、点 $E$ で弦 $AB$ に接し、弧 $AB$ に内接する円の中心が、半円の中心 $O$ とどのような位置関係にあるかを考察して立式する。

解法1

半円の中心を $O$ とし、$BC = 2R$ であるから $O$ は線分 $BC$ の中点である。また、$BC$ は半円の直径なので、円周角の定理より $\angle BAC = 90^\circ$ である。 $\triangle ABC$ の辺の長さを $BC = 2R$, $CA = b$, $AB = c$ とおく。三平方の定理より、以下の関係が成り立つ。

$$ b^2 + c^2 = (2R)^2 = 4R^2 $$

$\triangle ABC$ の内接円の中心（内心）から各辺に下ろした垂線の長さは $r$ である。直角三角形の内心から $AB$, $AC$ への垂線の足、および頂点 $A$ がなす四角形は一辺が $r$ の正方形となるため、円外の点から引いた接線の長さの性質より、斜辺 $BC$ において以下の等式が成り立つ。

$$ (c - r) + (b - r) = 2R $$

整理すると、

$$ 2r = b + c - 2R $$

したがって、$r$ は次のように表される。

$$ r = \frac{b + c - 2R}{2} $$

次に、$\alpha$ について考える。弦 $AB$ の中点が $E$ であるから、中点連結定理より $OE \parallel AC$ となり、$OE = \frac{1}{2} AC = \frac{b}{2}$ である。 $AC \perp AB$ であるため、$OE \perp AB$ である。点 $E$ で弦 $AB$ に接し、弧 $AB$ に内接する半径 $\alpha$ の円の中心を $P$ とすると、$PE \perp AB$ であり、$PE = \alpha$ である。これにより、点 $P$ は半直線 $OE$ 上にある。また、この円は半径 $R$ の弧 $AB$ に内接するため、中心 $P$ は $O$ と弧 $AB$ 上の接点とを一直線上に結ぶ線分上に位置する。したがって、線分 $OP$ の長さについて以下の式が成り立つ。

$$ OP = R - \alpha $$

一方、$P$ は半直線 $OE$ 上にあり、接点 $E$ は $O$ と $P$ の間にあるので、$OP = OE + PE = \frac{b}{2} + \alpha$ でもある。これらを等置すると、

$$ R - \alpha = \frac{b}{2} + \alpha $$

$$ 2\alpha = R - \frac{b}{2} $$

同様に、弦 $AC$ の中点 $F$ で接し、弧 $AC$ に接する円の半径 $\beta$ についても考える。中心を $Q$ とすると、中点連結定理より $OF = \frac{c}{2}$ であり、$O, F, Q$ は同一直線上にあるため、

$$ 2\beta = R - \frac{c}{2} $$

が成り立つ。

(1)の証明

得られた $\alpha, \beta$ の式を用いて、$2(\alpha + \beta)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} 2(\alpha + \beta) &= 2\alpha + 2\beta \\ &= \left( R - \frac{b}{2} \right) + \left( R - \frac{c}{2} \right) \\ &= 2R - \frac{b + c}{2} \end{aligned} $$

ここで、先ほど求めた $r$ の関係式 $2r = b + c - 2R$ より、$\frac{b + c}{2} = R + r$ である。これを代入すると、

$$ \begin{aligned} 2(\alpha + \beta) &= 2R - (R + r) \\ &= R - r \end{aligned} $$

よって、$2(\alpha + \beta) = R - r$ が成り立つことが示された。

(2)の証明

次に $8\alpha \beta$ を計算する。

$$ \begin{aligned} 8\alpha \beta &= 2 \cdot (2\alpha) \cdot (2\beta) \\ &= 2 \left( R - \frac{b}{2} \right) \left( R - \frac{c}{2} \right) \\ &= 2 \left( R^2 - \frac{b+c}{2}R + \frac{bc}{4} \right) \\ &= 2R^2 - (b+c)R + \frac{bc}{2} \end{aligned} $$

一方、$r^2$ を計算する。$2r = b + c - 2R$ より、

$$ \begin{aligned} r^2 &= \frac{(b + c - 2R)^2}{4} \\ &= \frac{(b + c)^2 - 4R(b + c) + 4R^2}{4} \\ &= \frac{b^2 + c^2 + 2bc - 4R(b + c) + 4R^2}{4} \end{aligned} $$

ここで、三平方の定理 $b^2 + c^2 = 4R^2$ を用いると、

$$ \begin{aligned} r^2 &= \frac{4R^2 + 2bc - 4R(b + c) + 4R^2}{4} \\ &= \frac{8R^2 - 4R(b + c) + 2bc}{4} \\ &= 2R^2 - (b + c)R + \frac{bc}{2} \end{aligned} $$

ゆえに、$8\alpha \beta = r^2$ が成り立つことが示された。

解説

この問題のポイントは、直角三角形の各辺の長さを用いた式への帰着である。特に、半円の中心を $O$ としたとき、$O$ から弦への垂線が弦の中点を通ることや、内接する2円の中心間の距離が半径の差になるという平面幾何の基本的な性質を組み合わせる力が問われる。直角三角形の内接円の半径 $r$ が $2r = b+c-a$ と表せることは頻出であるため、立式の足掛かりとしてスムーズに引き出せるようにしておきたい。