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東京工業大学 1974年理系第1問解説

方針・初手

与えられた2次関数のグラフの軸を求め、定義域 $a \leqq x \leqq b$ と軸の位置関係によって場合分けを行う。値域が $a \leqq y \leqq b$ となる条件は、区間における「最小値が $a$」かつ「最大値が $b$」となることである。

解法1

$f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x + 4$ とおく。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{3}{4}(x^2 - 4x) + 4 \\ &= \frac{3}{4}(x - 2)^2 - 3 + 4 \\ &= \frac{3}{4}(x - 2)^2 + 1 \end{aligned} $$

したがって、$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(2, 1)$、軸は直線 $x = 2$ である。定義域 $a \leqq x \leqq b$ （ただし $0 < a < b$）と軸 $x = 2$ の位置関係で以下のように場合分けをする。

(i) $b < 2$ の場合

区間 $a \leqq x \leqq b$ において、$f(x)$ は単調に減少する。よって、最大値は $f(a)$、最小値は $f(b)$ となる。値域が $a \leqq y \leqq b$ であるための条件は、

$$ \begin{cases} f(a) = b \\ f(b) = a \end{cases} $$

すなわち、

$$ \begin{cases} \frac{3}{4}a^2 - 3a + 4 = b & \cdots \text{①} \\ \frac{3}{4}b^2 - 3b + 4 = a & \cdots \text{②} \end{cases} $$

① $-$ ② より、

$$ \frac{3}{4}(a^2 - b^2) - 3(a - b) = b - a $$

$$ \frac{3}{4}(a - b)(a + b) - 2(a - b) = 0 $$

$$ (a - b) \left\{ \frac{3}{4}(a + b) - 2 \right\} = 0 $$

$a < b$ より $a - b \neq 0$ であるから、

$$ \frac{3}{4}(a + b) - 2 = 0 \quad \iff \quad a + b = \frac{8}{3} $$

これより $b = \frac{8}{3} - a$ となり、①に代入すると、

$$ \frac{3}{4}a^2 - 3a + 4 = \frac{8}{3} - a $$

$$ \frac{3}{4}a^2 - 2a + \frac{4}{3} = 0 $$

$$ 9a^2 - 24a + 16 = 0 $$

$$ (3a - 4)^2 = 0 \quad \iff \quad a = \frac{4}{3} $$

このとき $b = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ となるが、これは $a < b$ を満たさない。よって、この場合に条件を満たす $a, b$ は存在しない。

(ii) $a \leqq 2 \leqq b$ の場合

区間 $a \leqq x \leqq b$ に軸 $x = 2$ が含まれるため、$f(x)$ は $x = 2$ で最小値をとる。最小値は $f(2) = 1$ であり、これが値域の下端 $a$ と等しくなるので、$a = 1$ である。このとき、条件 $a \leqq 2 \leqq b$ は $1 \leqq 2 \leqq b$ となり、$b \geqq 2$ であることがわかる。

次に、最大値を考える。定義域の端点は $x = 1$ と $x = b$ である。軸 $x = 2$ との距離を比べると、$|1 - 2| = 1$、$|b - 2| = b - 2$ である。

・$b - 2 < 1$ すなわち $2 \leqq b < 3$ のとき $x = 1$ で最大値 $f(1)$ をとる。

$$ f(1) = \frac{3}{4} \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 4 = \frac{7}{4} $$

これが値域の上端 $b$ と一致するため $b = \frac{7}{4}$ となるが、これは $2 \leqq b < 3$ を満たさないため不適。

・$b - 2 \geqq 1$ すなわち $b \geqq 3$ のとき $x = b$ で最大値 $f(b)$ をとる。これが値域の上端 $b$ と一致するので、

$$ f(b) = b $$

$$ \frac{3}{4}b^2 - 3b + 4 = b $$

$$ 3b^2 - 16b + 16 = 0 $$

$$ (3b - 4)(b - 4) = 0 $$

これより $b = \frac{4}{3}, 4$ を得るが、$b \geqq 3$ を満たすのは $b = 4$ である。これは $a < b$ も満たす。

(iii) $2 < a$ の場合

区間 $a \leqq x \leqq b$ において、$f(x)$ は単調に増加する。よって、最大値は $f(b)$、最小値は $f(a)$ となる。値域が $a \leqq y \leqq b$ であるための条件は、

$$ \begin{cases} f(a) = a \\ f(b) = b \end{cases} $$

$f(x) = x$ を解くと、(ii) で計算したように $x = \frac{4}{3}, 4$ となる。 $2 < a < b$ であるから、$a = 4$ が候補となるが、このとき $b > 4$ となる $b$ の解が存在しないため不適。

以上 (i), (ii), (iii) より、求める値は $a = 1, b = 4$ のみである。

解説

2次関数の定義域と値域に関する典型的な問題である。軸の位置が区間に含まれるか含まれないかで最大値・最小値の候補が変わるため、定石通りに場合分けを行って処理する。 (i) のような単調減少区間において $f(a) = b$ かつ $f(b) = a$ となる連立方程式を解く場面では、2式の差をとって $a - b$ でくくり出す処理が定石である。