東北大学 2006年 理系 第5問 解説

方針・初手

行列の累乗は、直接計算して規則性を見つけるか、行列の特徴（冪等性や冪零性など）を利用して求める。本問では、行列 $A$ が $A^2=A$ を満たす冪等行列であり、行列 $B$ が $B^3=O$ を満たす冪零行列であることに着目する。(1) については直接計算して帰納法で示し、(2) については $m, n$ の値で場合分けをして積を計算する。(3) は (1) や (2) の結果に頼らず、成分ごとの計算によって条件を満たす未知の成分を決定していく。

解法1

(1) 行列 $A+B$ を計算すると、

$$ A+B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

となる。これを2乗、3乗と計算していく。

$$ (A+B)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ (A+B)^3 = (A+B)^2 (A+B) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

これより、2以上の自然数 $k$ に対して $(A+B)^k = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ と予想できる。これを数学的帰納法で示す。

(i) $k=2$ のとき、上記の計算より成立する。

(ii) $k=l$ ($l \geqq 2$) のとき、成立すると仮定する。すなわち、

$$ (A+B)^l = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

である。このとき、$k=l+1$ について考えると、

$$ (A+B)^{l+1} = (A+B)^l (A+B) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

となり、$k=l+1$ のときも成立する。

以上より、2以上の自然数 $k$ に対して以下が成り立つ。

$$ (A+B)^k = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

(2) まず、任意の自然数 $m$ に対する $A^m$ について調べる。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = A $$

であるから、すべての自然数 $m$ に対して $A^m = A$ が成り立つ。

次に、任意の自然数 $n$ に対する $B^n$ について調べる。

$$ B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ B^3 = B^2 B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

したがって、$n \geqq 3$ のとき $B^n = O$ となる。これを踏まえ、$n$ の値によって場合分けを行う。

(i) $n=1$ のとき

$$ A^m B^1 = AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ B^1 A^m = BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

(ii) $n=2$ のとき

$$ A^m B^2 = A B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

$$ B^2 A^m = B^2 A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O $$

(iii) $n \geqq 3$ のとき $B^n = O$ であるから、積はどちらも $O$ となる。

$$ A^m B^n = A O = O $$

$$ B^n A^m = O A = O $$

(3) 与えられた条件 $(A+B)X = O$ より、

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

行列の積を計算すると、

$$ \begin{pmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1+z_1 & y_2+z_2 & y_3+z_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

成分を比較して連立方程式を立てると、

$$ \begin{cases} y_1 = 0 \\ y_2 = 0 \\ y_3 = 0 \\ y_1+z_1 = 0 \\ y_2+z_2 = 0 \\ y_3+z_3 = 0 \end{cases} $$

これを解くと、$y_1=y_2=y_3=0$ かつ $z_1=z_2=z_3=0$ を得る。したがって、行列 $X$ は次の形になる。

$$ X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

次に、もう一つの条件 $X(A+B) = O$ にこの $X$ を代入する。

$$ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

行列の積を計算すると、

$$ \begin{pmatrix} 0 & x_1+x_2 & x_2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

成分を比較して、

$$ \begin{cases} x_1+x_2 = 0 \\ x_2 = 0 \end{cases} $$

これより $x_1 = 0, x_2 = 0$ が定まる。$x_3$ については制約がなく任意の実数値をとれるため、これを定数 $c$ とおく。

以上より、求める行列 $X$ は、任意の実数 $c$ を用いて表される。

解説

行列の累乗や積に関する基本的な計算問題である。(1) では行列 $A+B$ をひとまとまりの行列として捉え、自乗を計算した時点で同じ形が維持されることに気づければ容易である。数学的帰納法で論証を補うのが確実である。(2) では、冪等行列と冪零行列の性質を利用する。特定の次数以上で零行列となる行列 $B$ の性質に早く気づくことができれば、場合分けが簡明になる。(3) は連立方程式の立式と処理であり、成分比較を落ち着いて行えば問題なく解ける。いずれの小問も、行列の積の定義に従って丁寧に手を動かすことが求められる。

答え

(1) $k$ を2以上の自然数として、

$$ (A+B)^k = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

(2) $n=1$ のとき

$$ A^m B^n = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B^n A^m = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$n \geqq 2$ のとき

$$ A^m B^n = O, \quad B^n A^m = O $$

(3) $c$ を任意の実数として、

$$ X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$