トップ› 九州大学› 2007年› 理系第2問

九州大学 2007年理系第2問解説

方針・初手

(1) は与えられた漸化式 $A_{n+1} = A_n B - B A_n + C$ に従って直接計算を行います。行列の乗法は交換法則が成り立たないことに注意し、$A B$ と $B A$ を別々に計算してから引き算を行います。

(2) は (1) で求めた $A_2, A_3$ の結果から一般の $A_n$ の形を推測し、数学的帰納法によって証明する方針が考えられます。あるいは、初めから $A_n$ の各成分を文字でおき、連立漸化式を立てて成分ごとに一般項を求める方針も有効です。

解法1

(1) 漸化式 $A_{n+1} = A_n B - B A_n + C$ において $n=1$ とすると、

$$ A_2 = A_1 B - B A_1 + C = A B - B A + C $$

となる。それぞれの項を計算する。

$$ A B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1+(1+p) \\ -1 & -1-(1+p) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2+p \\ -1 & -2-p \end{pmatrix} $$

$$ B A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1-1 \\ -(1+p) & -(1+p) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1-p & -1-p \end{pmatrix} $$

よって、

$$ A B - B A = \begin{pmatrix} 1 & 2+p \\ -1 & -2-p \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1-p & -1-p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2+p \\ p & -1 \end{pmatrix} $$

したがって、

$$ A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2+p \\ p & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1-p & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1+p \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

次に $n=2$ とすると、

$$ A_3 = A_2 B - B A_2 + C $$

同様に計算する。

$$ A_2 B = \begin{pmatrix} 1 & 1+p \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1+(1+p)^2 \\ -1 & -1-(1+p) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1+(1+p)^2 \\ -1 & -2-p \end{pmatrix} $$

$$ B A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1+p \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1+p-1 \\ -(1+p) & -(1+p) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & p \\ -1-p & -1-p \end{pmatrix} $$

よって、

$$ A_2 B - B A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1+(1+p)^2-p \\ p & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2+p+p^2 \\ p & -1 \end{pmatrix} $$

したがって、

$$ A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2+p+p^2 \\ p & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1-p & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1+p+p^2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

(2) (1) の結果と $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ から、$A_n$ は次のように推測できる。

$$ A_n = \begin{pmatrix} 1 & \sum_{k=0}^{n-1} p^k \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1-p^n}{1-p} \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

これを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき

$$ \frac{1-p^1}{1-p} = 1 $$

より、$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ となり成立する。

(ii) $n=k$ のとき、成立すると仮定する。すなわち、

$$ A_k = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1-p^k}{1-p} \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

とする。このとき $A_{k+1}$ を計算する。

$$ A_k B = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1-p^k}{1-p} \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1+(1+p)\frac{1-p^k}{1-p} \\ -1 & -2-p \end{pmatrix} $$

$$ B A_k = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1-p^k}{1-p} \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1-p^k}{1-p}-1 \\ -1-p & -1-p \end{pmatrix} $$

引き算を行うと、

$$ A_k B - B A_k = \begin{pmatrix} 1 & 2+(1+p)\frac{1-p^k}{1-p}-\frac{1-p^k}{1-p} \\ p & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2+p\frac{1-p^k}{1-p} \\ p & -1 \end{pmatrix} $$

右上成分を変形すると、

$$ 2 + p\frac{1-p^k}{1-p} = 2 + \frac{p-p^{k+1}}{1-p} $$

これに $C$ を加えると、

$$ A_{k+1} = \begin{pmatrix} 1 & 2+\frac{p-p^{k+1}}{1-p} \\ p & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1-p & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1+\frac{p-p^{k+1}}{1-p} \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

さらに右上成分を整理すると、

$$ 1 + \frac{p-p^{k+1}}{1-p} = \frac{(1-p)+(p-p^{k+1})}{1-p} = \frac{1-p^{k+1}}{1-p} $$

したがって、

$$ A_{k+1} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1-p^{k+1}}{1-p} \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$

となり、$n=k+1$ のときも成立する。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について推測は正しい。これから、$a_n = 1, b_n = \frac{1-p^n}{1-p}, c_n = -1, d_n = -1$ となるので、

$$ \Delta_n = a_n d_n - b_n c_n = 1 \cdot (-1) - \frac{1-p^n}{1-p} \cdot (-1) = -1 + \frac{1-p^n}{1-p} = \frac{-(1-p)+(1-p^n)}{1-p} = \frac{p-p^n}{1-p} $$

条件より $0 < p < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} p^n = 0$ である。したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} \Delta_n = \lim_{n \to \infty} \frac{p-p^n}{1-p} = \frac{p}{1-p} $$

解法2

(2) の別解として、成分ごとの連立漸化式を立てて一般項を求める方法を示す。

与えられた漸化式 $A_{n+1} = A_n B - B A_n + C$ の右辺を、成分 $a_n, b_n, c_n, d_n$ を用いて計算する。

$$ A_n B = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n & a_n+b_n(1+p) \\ c_n & c_n+d_n(1+p) \end{pmatrix} $$

$$ B A_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n+c_n & b_n+d_n \\ c_n(1+p) & d_n(1+p) \end{pmatrix} $$

よって、

$$ A_n B - B A_n = \begin{pmatrix} -c_n & a_n+pb_n-d_n \\ -pc_n & c_n \end{pmatrix} $$

これに $C$ を加えると、

$$ A_{n+1} = \begin{pmatrix} -c_n & a_n+pb_n-d_n-1 \\ -pc_n-1-p & c_n \end{pmatrix} $$

$A_{n+1} = \begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ c_{n+1} & d_{n+1} \end{pmatrix}$ と各成分を比較して、以下の関係式を得る。

$$ \begin{cases} a_{n+1} = -c_n & \cdots ① \\ b_{n+1} = a_n + pb_n - d_n - 1 & \cdots ② \\ c_{n+1} = -pc_n - 1 - p & \cdots ③ \\ d_{n+1} = c_n & \cdots ④ \end{cases} $$

③の漸化式は次のように変形できる。

$$ c_{n+1} + 1 = -p(c_n + 1) $$

初項は $A_1 = A$ より $c_1 = -1$ であるから、$c_1 + 1 = 0$ となる。したがって、すべての自然数 $n$ に対して $c_n + 1 = 0$、すなわち $c_n = -1$ である。これを①、④に代入すると、

$$ a_{n+1} = 1, \quad d_{n+1} = -1 \quad (n \geqq 1) $$

$a_1 = 1, d_1 = -1$ と合わせて、すべての自然数 $n$ に対して $a_n = 1, d_n = -1$ となる。これらを②に代入すると、

$$ b_{n+1} = 1 + pb_n - (-1) - 1 = pb_n + 1 $$

この漸化式を変形すると、

$$ b_{n+1} - \frac{1}{1-p} = p \left( b_n - \frac{1}{1-p} \right) $$

数列 $\left\{ b_n - \frac{1}{1-p} \right\}$ は、初項が $b_1 - \frac{1}{1-p} = 1 - \frac{1}{1-p} = -\frac{p}{1-p}$、公比が $p$ の等比数列であるから、

$$ b_n - \frac{1}{1-p} = -\frac{p}{1-p} \cdot p^{n-1} = -\frac{p^n}{1-p} $$

ゆえに、

$$ b_n = \frac{1-p^n}{1-p} $$