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東京大学 1978年理系第4問解説

方針・初手

$A^2, A^3$ を計算し、$A^n$ の各成分の規則性を推測する。
推測した $A^n$ が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する。
後半の極限計算では、$a_n, b_n$ の式を具体的に求め、支配的な項（一番速く発散する項）で分母分子を割る。このとき、パラメータ $a, b$ の値や符号による場合分けが必要になることに着目する。

解法1

まず $A^n$ を推測するために、$A^2$ を計算する。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^2 & \frac{5}{3} + 15 \\ 0 & 3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^2 & \frac{50}{3} \\ 0 & 3^2 \end{pmatrix} $$

ここで、上三角行列 $A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & \gamma \end{pmatrix}$ （$\alpha \neq \gamma$）の $n$ 乗は、一般に $A^n = \begin{pmatrix} \alpha^n & \beta \frac{\gamma^n - \alpha^n}{\gamma - \alpha} \\ 0 & \gamma^n \end{pmatrix}$ となることが知られている。この性質から、$(1,2)$ 成分は $5 \cdot \frac{3^n - (1/3)^n}{3 - 1/3} = \frac{15}{8} \left\{ 3^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\}$ と推測できる。

したがって、

$$ A^n = \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^n & \frac{15}{8} \left\{ 3^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\} \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} $$

と推測できる。これを数学的帰納法で証明する。

(I)

$n=1$ のとき

$$ A^1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{15}{8} \left( 3 - \frac{1}{3} \right) \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{15}{8} \cdot \frac{8}{3} \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

となり、確かに成立する。

(II)

$n=k$ ($k$ は正の整数) のとき成立すると仮定する

すなわち、

$$ A^k = \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^k & \frac{15}{8} \left\{ 3^k - \left(\frac{1}{3}\right)^k \right\} \\ 0 & 3^k \end{pmatrix} $$

と仮定する。このとき $n=k+1$ について考えると、

$$ \begin{aligned} A^{k+1} &= A^k A \\ &= \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^k & \frac{15}{8} \left\{ 3^k - \left(\frac{1}{3}\right)^k \right\} \\ 0 & 3^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^{k+1} & 5 \left(\frac{1}{3}\right)^k + \frac{45}{8} \left\{ 3^k - \left(\frac{1}{3}\right)^k \right\} \\ 0 & 3^{k+1} \end{pmatrix} \end{aligned} $$

ここで $(1,2)$ 成分を計算すると、

$$ \begin{aligned} 5 \left(\frac{1}{3}\right)^k + \frac{45}{8} \cdot 3^k - \frac{45}{8} \left(\frac{1}{3}\right)^k &= \frac{45}{8} \cdot 3^k - \frac{5}{8} \left(\frac{1}{3}\right)^k \\ &= \frac{15}{8} \cdot 3 \cdot 3^k - \frac{15}{8} \cdot \frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^k \\ &= \frac{15}{8} \left\{ 3^{k+1} - \left(\frac{1}{3}\right)^{k+1} \right\} \end{aligned} $$

となり、$n=k+1$ のときも推測した式が成り立つ。

（I）, （II）より、すべての正の整数 $n$ について

$$ A^n = \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^n & \frac{15}{8} \left\{ 3^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\} \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} $$

である。

次に、$\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ を計算する。

$$ \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left(\frac{1}{3}\right)^n & \frac{15}{8} \left\{ 3^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\} \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \left(\frac{1}{3}\right)^n + \frac{15}{8} b \left\{ 3^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\} \\ b \cdot 3^n \end{pmatrix} $$

したがって、

$$ a_n = \left( a - \frac{15}{8} b \right) \left(\frac{1}{3}\right)^n + \frac{15}{8} b \cdot 3^n, \quad b_n = b \cdot 3^n $$

これを用いて極限 $u, v$ を求める。項の大きさから、$b$ の値によって場合分けを行う。

(i)

$b \neq 0$ の場合

$a_n, b_n$ において $n \to \infty$ のとき最も速く発散する項は $3^n$ であるため、極限を求める式において分母・分子を $3^n$ で割る。 $3^n > 0$ であるから、分母は $\sqrt{{a_n}^2 + {b_n}^2} = 3^n \sqrt{\left(\frac{a_n}{3^n}\right)^2 + \left(\frac{b_n}{3^n}\right)^2}$ と変形できる。

$$ \frac{a_n}{3^n} = \left( a - \frac{15}{8} b \right) \left(\frac{1}{9}\right)^n + \frac{15}{8} b, \quad \frac{b_n}{3^n} = b $$

$n \to \infty$ のとき $\left(\frac{1}{9}\right)^n \to 0$ であるから、$\frac{a_n}{3^n} \to \frac{15}{8} b$ となる。したがって、極限 $u, v$ は

$$ u = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a_n}{3^n}}{\sqrt{\left(\frac{a_n}{3^n}\right)^2 + \left(\frac{b_n}{3^n}\right)^2}} = \frac{\frac{15}{8} b}{\sqrt{\left(\frac{15}{8} b\right)^2 + b^2}} = \frac{\frac{15}{8} b}{\sqrt{\frac{289}{64} b^2}} = \frac{\frac{15}{8} b}{\frac{17}{8} |b|} $$

$$ v = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{b_n}{3^n}}{\sqrt{\left(\frac{a_n}{3^n}\right)^2 + \left(\frac{b_n}{3^n}\right)^2}} = \frac{b}{\sqrt{\left(\frac{15}{8} b\right)^2 + b^2}} = \frac{b}{\frac{17}{8} |b|} $$

ここで、$|b|$ の外し方によってさらに符号で場合分けが生じる。

・$b > 0$ のとき

$|b| = b$ であるから、

$$ u = \frac{\frac{15}{8} b}{\frac{17}{8} b} = \frac{15}{17}, \quad v = \frac{b}{\frac{17}{8} b} = \frac{8}{17} $$

・$b < 0$ のとき

$|b| = -b$ であるから、

$$ u = \frac{\frac{15}{8} b}{-\frac{17}{8} b} = -\frac{15}{17}, \quad v = \frac{b}{-\frac{17}{8} b} = -\frac{8}{17} $$

(ii)

$b = 0$ の場合

条件 $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より、$a \neq 0$ である。このとき、$a_n = a \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $b_n = 0$ となる。

$$ u = \lim_{n \to \infty} \frac{a \left(\frac{1}{3}\right)^n}{\sqrt{\left(a \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)^2 + 0^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{a \left(\frac{1}{3}\right)^n}{|a| \left(\frac{1}{3}\right)^n} = \frac{a}{|a|} $$

$$ v = \lim_{n \to \infty} \frac{0}{\sqrt{\left(a \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)^2 + 0^2}} = 0 $$

・$a > 0$ のとき

$$ u = 1, \quad v = 0 $$

・$a < 0$ のとき

$$ u = -1, \quad v = 0 $$

解説

行列の $n$ 乗の計算において、上三角行列の $n$ 乗の形（特に対角成分がそれぞれの $n$ 乗になること）を知っていると推測が容易になる。本問では $(1,2)$ 成分の推測が鍵となるため、公式知識から推測して帰納法に持ち込むのが安全な解答方針である。
後半の極限計算では、分母に $\sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ があるため、$n \to \infty$ の挙動を調べる際に最大項（この場合は $3^n$）でくくりだす必要がある。
変数 $b$ を含む項が最大項となるため、$b=0$ と $b \neq 0$ の場合分けが必須となる。また、ルートの外に文字式を出す際に $\sqrt{b^2} = |b|$ となるため、$b$ の符号による場合分けも忘れずに行う必要がある。ここで絶対値記号の処理を誤るミスが非常に起きやすいので注意したい。