京都大学 2007年 理系 第5問（乙） 解説

方針・初手

行列 $A^m$ が単位行列 $E$ であることを示すために、「一次独立な2つのベクトル $\overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{x_1}$ に対して、$A^m \overrightarrow{x_0} = \overrightarrow{x_0}$ かつ $A^m \overrightarrow{x_1} = \overrightarrow{x_1}$ が成り立つ」ことを示します。

本問では、与えられた漸化式から $A^m \overrightarrow{x_0} = \overrightarrow{x_0}$ がすぐにわかります。もう一つのベクトルとして $\overrightarrow{x_1}$ を選び、$A^m \overrightarrow{x_1} = \overrightarrow{x_1}$ を導いた上で、$\overrightarrow{x_0}$ と $\overrightarrow{x_1}$ が一次独立であることを「$m \geqq 3$ で初めて一致する」という条件を用いて背理法で証明します。

解法1

漸化式 $\overrightarrow{x_{n+1}} = A\overrightarrow{x_n}$ より、任意の自然数 $n$ に対して $\overrightarrow{x_n} = A^n \overrightarrow{x_0}$ が成り立つ。

条件より $\overrightarrow{x_m} = \overrightarrow{x_0}$ であるから、

$$ A^m \overrightarrow{x_0} = \overrightarrow{x_0} \quad \cdots (1) $$

ここで、$\overrightarrow{x_1}$ に対して $A^m$ を掛けると、

$$\begin{aligned} A^m \overrightarrow{x_1} &= A^m (A\overrightarrow{x_0}) = A (A^m \overrightarrow{x_0}) = A \overrightarrow{x_0} = \overrightarrow{x_1} \end{aligned}$$

よって、

$$ A^m \overrightarrow{x_1} = \overrightarrow{x_1} \quad \cdots (2) $$

次に、$\overrightarrow{x_0}$ と $\overrightarrow{x_1}$ が一次独立であることを背理法で示す。

$\overrightarrow{x_0}$ と $\overrightarrow{x_1}$ が一次従属であると仮定する。$\overrightarrow{x_0} \neq \overrightarrow{0}$ であるから、ある実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{x_1} = k\overrightarrow{x_0}$ と表せる。

このとき、帰納的に任意の自然数 $n$ について $\overrightarrow{x_n} = k^n \overrightarrow{x_0}$ が成り立つ。

$\overrightarrow{x_m} = \overrightarrow{x_0}$ かつ $\overrightarrow{x_0} \neq \overrightarrow{0}$ より $k^m = 1$。$k$ は実数であるから $k = 1$ または $k = -1$。

(i) $k = 1$ のとき

$\overrightarrow{x_1} = \overrightarrow{x_0}$ となり、$m=1$ で一致してしまう。「$m \geqq 3$ で初めて一致する」という条件に矛盾。

(ii) $k = -1$ のとき

$\overrightarrow{x_2} = (-1)^2 \overrightarrow{x_0} = \overrightarrow{x_0}$ となり、$m=2$ で一致してしまう。これも矛盾。

(i), (ii) いずれも矛盾が生じるため、仮定は誤りであり、$\overrightarrow{x_0}$ と $\overrightarrow{x_1}$ は一次独立である。

行列 $A$ は2次の正方行列であるから、一次独立な $\overrightarrow{x_0}, \overrightarrow{x_1}$ を基底として、任意の2次元列ベクトル $\overrightarrow{v}$ は実数 $s, t$ を用いて

$$ \overrightarrow{v} = s\overrightarrow{x_0} + t\overrightarrow{x_1} $$

と一意に表せる。このベクトル $\overrightarrow{v}$ に $A^m$ を掛けると、式(1), (2)より

$$ A^m \overrightarrow{v} = s A^m \overrightarrow{x_0} + t A^m \overrightarrow{x_1} = s \overrightarrow{x_0} + t \overrightarrow{x_1} = \overrightarrow{v} $$

すなわち、任意の2次元列ベクトル $\overrightarrow{v}$ に対して $A^m \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$ が成り立つ。

したがって、行列 $A^m$ は単位行列 $E$ である。（証明終）

解説

行列が単位行列であることを示すための定石的なアプローチを問う問題です。

成分計算やケーリー・ハミルトンの定理を用いる解法もありますが、計算が煩雑になりがちです。本解法のように「2つの一次独立なベクトルを不変に保つ2次正方行列は単位行列に限られる」という線形代数の基本的な性質（基底の行き先で行列は決定される）を利用すると、非常にスッキリと証明できます。

「$m \geqq 3$ で初めて一致する」という問題文の絶妙な条件が、一次独立性の証明における $k=1, -1$ の排除に見事に機能しています。

答え

略（解法1の証明を参照）