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東北大学 2007年理系第1問解説

方針・初手

(1) は、整式 $x^2$ を $x^2-6x-12$ で直接割ることで余りを求める。
(2) は、$x^{n+1} = x \cdot x^n$ と変形し、$x^n$ を(1)や問題文で与えられた式を用いて次数を下げることで、漸化式を導く。
(3) は、「各 $n$ に対して」という条件に注目し、$n=2$ の場合の公約数から素数の候補を絞り込む。その後、その候補がすべての $n$ で条件を満たすことを数学的帰納法で示す。

解法1

(1)

整式 $x^2$ を $x^2-6x-12$ で割ると、 $$x^2 = 1 \cdot (x^2-6x-12) + 6x + 12$$ よって、余りは $6x+12$ となるので、 $$a_2 = 6$$ $$b_2 = 12$$

(2)

$x^n$ を $x^2-6x-12$ で割った商を $Q_n(x)$ とすると、 $$x^n = (x^2-6x-12)Q_n(x) + a_nx + b_n$$ と表せる。両辺に $x$ を掛けると、 $$x^{n+1} = (x^2-6x-12)xQ_n(x) + a_nx^2 + b_nx$$ ここで、(1) より $x^2 = (x^2-6x-12) + 6x + 12$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} x^{n+1} &= (x^2-6x-12)xQ_n(x) + a_n(x^2-6x-12 + 6x + 12) + b_nx \\ &= (x^2-6x-12)\{xQ_n(x) + a_n\} + (6a_n+b_n)x + 12a_n \end{aligned} $$

ここで、$(6a_n+b_n)x + 12a_n$ は $x$ についての1次以下の整式であるから、これが $x^{n+1}$ を $x^2-6x-12$ で割った余りである。問題文の定義より、この余りは $a_{n+1}x + b_{n+1}$ であるから、 $$a_{n+1}x + b_{n+1} = (6a_n+b_n)x + 12a_n$$ これが $x$ についての恒等式となるため、係数を比較して、 $$a_{n+1} = 6a_n + b_n$$ $$b_{n+1} = 12a_n$$

(3)

条件を満たす素数を $p$ とする。 $p$ は各 $n \ge 2$ に対して $a_n, b_n$ の公約数となるので、特に $n=2$ のときも $a_2, b_2$ の公約数でなければならない。 (1) より $a_2 = 6, b_2 = 12$ であり、これらの公約数は $1, 2, 3, 6$ である。したがって、素数となる公約数の候補は $p=2, 3$ に限られる。

次に、$p=2, 3$ がすべての $n \ge 2$ において $a_n, b_n$ の公約数となること、すなわち「$a_n, b_n$ はともに $2$ の倍数かつ $3$ の倍数である」ことを数学的帰納法で示す。

(i) $n=2$ のとき $a_2 = 6, b_2 = 12$ より、ともに $2$ の倍数かつ $3$ の倍数であり、成り立つ。

(ii) $n=k$ （$k \ge 2$）のとき成り立つと仮定する。すなわち、$a_k, b_k$ がともに $2$ の倍数かつ $3$ の倍数であるとする。 (2) の結果より、 $$a_{k+1} = 6a_k + b_k$$ $$b_{k+1} = 12a_k$$ 仮定より $a_k, b_k$ は $2$ の倍数かつ $3$ の倍数であるから、$6a_k + b_k$ および $12a_k$ も $2$ の倍数かつ $3$ の倍数である。よって、$a_{k+1}, b_{k+1}$ も $2$ の倍数かつ $3$ の倍数となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n \ge 2$ に対して、$a_n, b_n$ はともに $2$ の倍数かつ $3$ の倍数である。

以上より、すべての $n$ に対して $a_n, b_n$ の公約数となる素数は $2, 3$ である。

解説

整式の割り算において、$x^{n+1} = x \cdot x^n$ と分解して漸化式を導出する手法は頻出の典型処理である。余りの次数が割る式の次数未満になるまで次数下げを行うことがポイントである。
(3) は「すべての $n$ に対して」成り立つ条件を求める問題である。このような全称命題では、扱いやすい特定の $n$ （本問では $n=2$）を代入して必要条件を求め、候補を絞り込むアプローチが極めて有効である。
絞り込んだ候補が本当にすべての $n$ で条件を満たすかどうか（十分性）を、漸化式と数学的帰納法を用いて厳密に確認する論証力が問われている。