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名古屋大学 2009年理系第5問解説

方針・初手

分母に文字を含む方程式から、両辺に分母の公倍数を掛けて $(x-a)(y-b)=c$ の形（不定方程式の定石）に変形する。 $x, y$ が正の整数であるという条件から、$(x-a)$ と $(y-b)$ の値の範囲を絞り込み、候補となる整数の組を列挙する。 (2) では $p$ が素数であることを利用して約数の組を決定し、それぞれの場合について $2x + 3y$ の値を求めて大小を比較する。

解法1

(1)

与えられた等式

$$ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} $$

の両辺に $4xy$ を掛けて分母を払うと

$$ 8y + 4x = xy $$

$$ xy - 4x - 8y = 0 $$

両辺に $32$ を加えて因数分解すると

$$ (x - 8)(y - 4) = 32 $$

$x, y$ は正の整数であるから、$x \ge 1, y \ge 1$ であり、

$$ x - 8 \ge -7, \quad y - 4 \ge -3 $$

を満たす。 $32$ の約数の組のうち、共に負となるものを考えると、$y - 4 \ge -3$ より $y - 4 = -1, -2$ のいずれかである。

$y - 4 = -1$ のとき、$x - 8 = -32$ より $x = -24$ となり、$x \ge 1$ を満たさない。
$y - 4 = -2$ のとき、$x - 8 = -16$ より $x = -8$ となり、$x \ge 1$ を満たさない。

したがって、$x - 8$ と $y - 4$ は共に正の約数である。$32$ の正の約数の組は以下の6通りである。

$$ (x - 8, y - 4) = (1, 32), (2, 16), (4, 8), (8, 4), (16, 2), (32, 1) $$

それぞれの組について $(x, y)$ を求めると

$$ (x, y) = (9, 36), (10, 20), (12, 12), (16, 8), (24, 6), (40, 5) $$

これらはすべて正の整数の組であり、条件を満たす。

(2)

与えられた等式

$$ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p} $$

の両辺に $pxy$ を掛けて分母を払うと

$$ 2py + px = xy $$

$$ xy - px - 2py = 0 $$

両辺に $2p^2$ を加えて因数分解すると

$$ (x - 2p)(y - p) = 2p^2 $$

$x, y$ は正の整数であるから、$x \ge 1, y \ge 1$ であり、

$$ x - 2p \ge 1 - 2p, \quad y - p \ge 1 - p $$

を満たす。 $2p^2$ の約数の組のうち、共に負となるものを考える。$y - p \ge 1 - p$ であり、負の約数であるから $y - p = -1, -2$ のいずれかである（$p \ge 3$ より）。

$y - p = -1$ のとき、$x - 2p = -2p^2$ より $x = 2p(1 - p)$ となる。$p \ge 3$ より $1 - p < 0$ であるから $x < 0$ となり、$x \ge 1$ を満たさない。
$y - p = -2$ のとき、$x - 2p = -p^2$ より $x = p(2 - p)$ となる。$p \ge 3$ より $2 - p < 0$ であるから $x < 0$ となり、$x \ge 1$ を満たさない。

したがって、$x - 2p$ と $y - p$ は共に正の約数である。$p$ は素数であるから、$2p^2$ の正の約数は $1, 2, p, 2p, p^2, 2p^2$ の6個である。これらを用いて $(x - 2p, y - p)$ の組を列挙すると、以下の6通りとなる。

$$ (x - 2p, y - p) = (1, 2p^2), (2, p^2), (p, 2p), (2p, p), (p^2, 2), (2p^2, 1) $$

それぞれの組に対して $(x, y)$ を求め、$2x + 3y$ の値を計算する。

(i) $(x - 2p, y - p) = (1, 2p^2)$ のとき $(x, y) = (2p + 1, 2p^2 + p)$ であり、

$$ 2x + 3y = 2(2p + 1) + 3(2p^2 + p) = 6p^2 + 7p + 2 $$

(ii) $(x - 2p, y - p) = (2, p^2)$ のとき $(x, y) = (2p + 2, p^2 + p)$ であり、

$$ 2x + 3y = 2(2p + 2) + 3(p^2 + p) = 3p^2 + 7p + 4 $$

(iii) $(x - 2p, y - p) = (p, 2p)$ のとき $(x, y) = (3p, 3p)$ であり、

$$ 2x + 3y = 2(3p) + 3(3p) = 15p $$

(iv) $(x - 2p, y - p) = (2p, p)$ のとき $(x, y) = (4p, 2p)$ であり、

$$ 2x + 3y = 2(4p) + 3(2p) = 14p $$

(v) $(x - 2p, y - p) = (p^2, 2)$ のとき $(x, y) = (p^2 + 2p, p + 2)$ であり、

$$ 2x + 3y = 2(p^2 + 2p) + 3(p + 2) = 2p^2 + 7p + 6 $$

(vi) $(x - 2p, y - p) = (2p^2, 1)$ のとき $(x, y) = (2p^2 + 2p, p + 1)$ であり、

$$ 2x + 3y = 2(2p^2 + 2p) + 3(p + 1) = 4p^2 + 7p + 3 $$

これら6つの値の大小を比較する。まず、(iii) と (iv) を比較すると、$15p > 14p$ より (iv) の方が小さい。次に、(iv) と二次式を比較する。$p \ge 3$ であることに注意して差をとる。

(ii) と (iv) の差：

$$ (3p^2 + 7p + 4) - 14p = 3p^2 - 7p + 4 = (3p - 4)(p - 1) > 0 $$

(v) と (iv) の差：

$$ (2p^2 + 7p + 6) - 14p = 2p^2 - 7p + 6 = (2p - 3)(p - 2) > 0 $$

したがって、(ii) > (iv) および (v) > (iv) が成り立つ。 (i) と (vi) はそれぞれ (ii) と (v) より $p^2$ の係数が大きいため、(iv) より大きい。以上より、$2x + 3y$ を最小にするのは (iv) のときである。

解説

分数方程式を整数解の問題（不定方程式）に帰着させる典型的な問題である。$(x-a)(y-b)=c$ の形を作った後、約数の組をすべて書き出し、さらに問題の条件（今回は $x, y$ が正の整数）から不適なものを丁寧に除外することが重要である。 (2) では $p$ が素数である性質を用いて約数を過不足なく列挙し、それぞれで代入計算をして比較を行う。比較の際は差をとって因数分解し、$p \ge 3$ の条件から符号を判定すると論理的である。