東北大学 2017年 理系 第5問 解説

方針・初手

（1） は、方程式 $(*)$ とその共役方程式を引き算すればよい。

（2） では、$\gamma$ が実数であることから （1） の式が大きく簡単になる。そこでまず、$(*)$ を満たす $z$ がどのような直線上にあるかを調べ、そのあと $| \alpha |=| \beta |$ を使って $(*)$ を 1 変数の方程式に落とす。

解法1

まず、与えられた方程式は

$$ z\overline{z}+\alpha z+\beta \overline{z}+\gamma=0 $$

である。

(1)

この式の両辺の共役をとると、

$$ z\overline{z}+\overline{\alpha},\overline{z}+\overline{\beta},z+\overline{\gamma}=0 $$

を得る。

これからもとの式を引くと、

$$ (\overline{\beta}-\alpha)z+(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\overline{\gamma}-\gamma=0 $$

となる。両辺に $-1$ を掛ければ、

$$ (\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma}=0 $$

を得る。これが示すべき式である。

(2)

以後、$|\alpha|=|\beta|\neq 0$ かつ $\gamma$ は負の実数とする。

1. まず $\alpha=\overline{\beta}$ の場合を調べる

このとき $(*)$ は

$$ z\overline{z}+\alpha z+\overline{\alpha},\overline{z}+\gamma=0 $$

となる。ここで

$$ |z+\overline{\alpha}|^2 = z\overline{z}+\alpha z+\overline{\alpha},\overline{z}+|\alpha|^2 $$

であるから、

$$ |z+\overline{\alpha}|^2=|\alpha|^2-\gamma $$

となる。

$\gamma<0$ より $|\alpha|^2-\gamma>0$ であるから、これは半径 $\sqrt{|\alpha|^2-\gamma}$ の円を表す。したがって解は無数に存在し、ちょうど $2$ 個にはならない。

よって、解がちょうど $2$ 個であるためには

$$ \alpha\neq \overline{\beta} $$

が必要である。

2. 次に $\alpha\neq \overline{\beta}$ の場合を調べる

$A=\alpha-\overline{\beta}$ とおくと、$A\neq 0$ である。

また （1） より、$\gamma$ は実数なので $\gamma-\overline{\gamma}=0$ となり、

$$ Az-\overline{A},\overline{z}=0 $$

を得る。これは

$$ Az=\overline{Az} $$

すなわち $Az$ が実数であることを意味する。そこで

$$ Az=t \qquad (t\in \mathbb{R}) $$

とおく。すると

$$ z=\frac{t}{A},\qquad \overline{z}=\frac{t}{\overline{A}} $$

であるから、$(*)$ は

$$ \frac{t^2}{|A|^2} +\alpha\frac{t}{A} +\beta\frac{t}{\overline{A}} +\gamma=0 $$

となる。すなわち

$$ \frac{t^2}{|A|^2} +t\left(\frac{\alpha}{A}+\frac{\beta}{\overline{A}}\right) +\gamma=0 $$

である。

ここで、

$$ \frac{\alpha}{A}+\frac{\beta}{\overline{A}} =\frac{\alpha\overline{A}+\beta A}{|A|^2} $$

であり、$A=\alpha-\overline{\beta}$ を代入すると

$$ \alpha\overline{A}+\beta A =\alpha(\overline{\alpha}-\beta)+\beta(\alpha-\overline{\beta}) =|\alpha|^2-|\beta|^2 $$

となる。仮定 $|\alpha|=|\beta|$ より、これは $0$ である。したがって $(*)$ は

$$ \frac{t^2}{|A|^2}+\gamma=0 $$

すなわち

$$ t^2=-\gamma |A|^2 $$

となる。

$\gamma<0$ だから $-\gamma|A|^2>0$ であり、$t$ は

$$ t=\pm |A|\sqrt{-\gamma} $$

のちょうど $2$ 個である。$A\neq 0$ なので、それぞれに対して

$$ z=\frac{t}{A} $$

がただ $1$ つ定まり、したがって解 $z$ はちょうど $2$ 個である。

以上より、$\alpha\neq \overline{\beta}$ は十分でもある。

解説

この問題の要点は、もとの方程式が $z$ と $\overline{z}$ を含んでいても、共役をとって引き算すると、解が満たす一次条件が得られることである。

（2） では、その一次条件が $Az\in\mathbb{R}$ という「直線上の条件」に変わる。さらに $|\alpha|=|\beta|$ により、$(*)$ に代入したときの一次の項が消え、結局 $t^2=\text{定数}$ という形になるため、解の個数がただちに判定できる。

一方、$\alpha=\overline{\beta}$ のときは $(*)$ 自体が円の方程式になり、解は無数に存在する。この特別な場合の切り分けが重要である。

答え

(1)

$$ (\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma}=0 $$

を満たす。

(2)

$(*)$ を満たす $z$ がちょうど $2$ 個であるための必要十分条件は

$$ \alpha\neq \overline{\beta} $$

である。