東北大学 2022年 理系 第1問 解説

方針・初手

$l,m,n$ は正の奇数であるから、

$$ l=2a+1,\quad m=2b+1,\quad n=2c+1 $$

とおける。ただし $a,b,c$ は $0$ 以上の整数である。

すると条件 $l+m+n=K$ は

$$ 2a+1+2b+1+2c+1=K $$

すなわち

$$ a+b+c=\frac{K-3}{2} $$

に言い換えられる。したがって、もとの問題は「非負整数解の個数」を数える問題になる。

解法1

まず一般の $K$ について $N$ を求める。

$a+b+c=\dfrac{K-3}{2}$ の非負整数解の個数は、重複組合せより

$$ {}_{\frac{K-3}{2}+2}\mathrm{C}_{2} ========================== {}_{\frac{K+1}{2}}\mathrm{C}_{2} $$

である。よって

$$ N={}_{\frac{K+1}{2}}\mathrm{C}_{2} ========================== # \frac{\frac{K+1}{2}\cdot \frac{K-1}{2}}{2} \frac{K^2-1}{8} $$

となる。

（1） $K=99$ のとき

$$ N=\frac{99^2-1}{8} =\frac{9801-1}{8} =\frac{9800}{8} =1225 $$

よって求める個数は

$$ 1225 $$

である。

（2） $K=99$ のとき，$l,m,n$ の中に同じ奇数を $2$ つ以上含む組の個数

このとき

$$ a+b+c=\frac{99-3}{2}=48 $$

である。

$l,m,n$ の中に同じ奇数を $2$ つ以上含むことは、$a,b,c$ の中に等しいものが $2$ つ以上あることと同値である。

そこで、 $a=b$ となる組、 $a=c$ となる組、 $b=c$ となる組 を数えて包除原理を用いる。

(i)

$a=b$ のとき

$$ 2a+c=48 $$

となる。$a=0,1,2,\dots,24$ と動くので、解の個数は $25$ 個である。

同様に $a=c$ となる組も $25$ 個、$b=c$ となる組も $25$ 個である。

したがって単純に足すと

$$ 25+25+25=75 $$

個である。

ただし、$a=b=c$ の場合を重複して数えている。

$a=b=c$ なら

$$ 3a=48 $$

より

$$ a=16 $$

であり、このような組はただ $1$ 個である。これは $a=b$ と $a=c$、 $a=b$ と $b=c$、 $a=c$ と $b=c$ の各共通部分として数えられている。

よって包除原理より、求める個数は

$$ 25+25+25-1-1-1+1=73 $$

である。

（3） $N>K$ を満たす最小の $K$

一般に

$$ N=\frac{K^2-1}{8} $$

であるから、

$$ \frac{K^2-1}{8}>K $$

を解けばよい。これを整理すると

$$ K^2-8K-1>0 $$

となる。二次方程式 $K^2-8K-1=0$ の解は

$$ K=4\pm \sqrt{17} $$

であるから、

$$ K>4+\sqrt{17} $$

のとき $N>K$ となる。

ここで

$$ 4+\sqrt{17}\approx 8.12 $$

であり、$K$ は $3$ より大きい奇数なので、条件を満たす最小の $K$ は

$$ 9 $$

である。

実際、

$$ K=7\ \Rightarrow\ N=\frac{49-1}{8}=6<7, \qquad K=9\ \Rightarrow\ N=\frac{81-1}{8}=10>9 $$

となる。

解説

正の奇数をそのまま扱うより、$2a+1$ の形に直して非負整数の問題に変換するのが基本方針である。すると、和が一定の非負整数解の個数は重複組合せで処理できる。

（2） では「同じものを $2$ つ以上含む」を、$a=b$ などの条件に翻訳して包除原理で数えるのが自然である。単に $3$ 倍すると、すべて等しい場合を重複して数えるので、その補正が必要になる点が重要である。

答え

$$ \text{(1)}\ 1225 $$

$$ \text{(2)}\ 73 $$

$$ \text{(3)}\ 9 $$