東京工業大学 1986年 理系 第1問 解説

方針・初手

「すべての $n$ に対して割り切る素数」を求める問題では、まず小さな $n$ （$n=1, 2, \cdots$）のときの $a_n$ の値を具体的に計算し、素数の候補を絞り込むのが定石である。その後、候補として残った素数が実際にすべての $a_n$ を割り切ることを、合同式や数学的帰納法を用いて一般的に証明する。

解法1

まず、$n=1, 2$ のときの $a_n$ の値を計算する。

$n=1$ のとき、

$$ a_1 = 19^1 + (-1)^0 2^{4 \cdot 1 - 3} = 19 + 2^1 = 21 $$

$a_1 = 21 = 3 \times 7$ であるため、すべての $a_n$ を割り切る素数の候補は $3$ または $7$ に絞られる。

$n=2$ のとき、

$$ a_2 = 19^2 + (-1)^1 2^{4 \cdot 2 - 3} = 361 - 2^5 = 361 - 32 = 329 $$

$329 = 7 \times 47$ であり、$329$ は $3$ では割り切れない。

すべての整数 $n$ について $a_n$ を割り切る素数があるとすれば、それは $a_1$ と $a_2$ に共通する素因数でなければならない。したがって、求める素数の候補は $7$ のみである。

次に、任意の正の整数 $n$ について $a_n$ が $7$ の倍数であることを、法を $7$ とする合同式を用いて示す。 $a_n$ を以下のように変形する。

$$ \begin{aligned} a_n &= 19^n + (-1)^{n-1} 2^{4n-3} \\ &= 19^n - (-1)^n \cdot 2 \cdot 2^{4(n-1)} \\ &= 19^n - (-1)^n \cdot 2 \cdot 16^{n-1} \end{aligned} $$

$7$ を法として考えると、$19 \equiv 5 \pmod 7$、$16 \equiv 2 \pmod 7$ であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &\equiv 5^n - (-1)^n \cdot 2 \cdot 2^{n-1} \pmod 7 \\ &\equiv 5^n - (-1)^n \cdot 2^n \pmod 7 \\ &\equiv 5^n - (-2)^n \pmod 7 \end{aligned} $$

ここで、$5 \equiv -2 \pmod 7$ であるため、

$$ \begin{aligned} a_n &\equiv (-2)^n - (-2)^n \pmod 7 \\ &\equiv 0 \pmod 7 \end{aligned} $$

したがって、すべての正の整数 $n$ について $a_n$ は $7$ で割り切れる。

以上より、すべての $a_n$ を割り切る素数は $7$ である。

解法2

素数の候補が $7$ のみに絞られることを示す過程は解法1と同様である。 ここでは、数学的帰納法を用いて、任意の正の整数 $n$ について $a_n$ が $7$ の倍数であることを証明する。

(I)

$n=1$ のとき

$a_1 = 21 = 7 \times 3$ であり、$7$ の倍数である。

(II)

$n=k$ （$k$ は正の整数）のとき

$a_k$ が $7$ の倍数であると仮定すると、整数 $M$ を用いて次のように表せる。

$$ a_k = 19^k + (-1)^{k-1} 2^{4k-3} = 7M $$

この式を変形し、$19^k = 7M - (-1)^{k-1} 2^{4k-3}$ を得る。

$n=k+1$ のときの $a_{k+1}$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &= 19^{k+1} + (-1)^k 2^{4(k+1)-3} \\ &= 19 \cdot 19^k - (-1)^{k-1} \cdot 2^4 \cdot 2^{4k-3} \\ &= 19 \cdot 19^k - 16 \cdot (-1)^{k-1} 2^{4k-3} \end{aligned} $$

帰納法の仮定より得られた $19^k$ の式を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &= 19 \left( 7M - (-1)^{k-1} 2^{4k-3} \right) - 16 \cdot (-1)^{k-1} 2^{4k-3} \\ &= 19 \cdot 7M - 19 \cdot (-1)^{k-1} 2^{4k-3} - 16 \cdot (-1)^{k-1} 2^{4k-3} \\ &= 19 \cdot 7M - 35 \cdot (-1)^{k-1} 2^{4k-3} \\ &= 7 \left( 19M - 5 \cdot (-1)^{k-1} 2^{4k-3} \right) \end{aligned} $$

$M$ と $k$ は整数であるから、$19M - 5 \cdot (-1)^{k-1} 2^{4k-3}$ も整数である。 よって、$a_{k+1}$ も $7$ の倍数となる。

（I）, （II） より、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n$ は $7$ の倍数である。

以上より、すべての $a_n$ を割り切る素数は $7$ である。

解説

「すべての自然数で成り立つ」ような整数問題の典型的なアプローチを問う良問である。 まずは必要条件から絞り込むという発想が重要で、実験的に $n=1, 2$ を代入することで、調べるべき対象が一瞬で $7$ に確定する。

証明の手段としては、解法1の合同式を用いたアプローチが最も計算量が少なく済む。指数の形をうまく整理して、法の数（この場合は $7$）に合わせていく技術が求められる。解法2の数学的帰納法も定石であり、指数関数の漸化式のような形を作り出すことで、確実に論証することができる。どちらの方法も入試では頻出であるため、両方のアプローチを習得しておきたい。

答え

$7$