東北大学 2016年 理系 第2問 解説

方針・初手

（1） は $n=6$ を出発点とする数学的帰納法で示す。帰納法の仮定を $2$ 倍した式と、示すべき $(k+1)$ の場合の式を比較すればよい。

（2） は素数の偶奇に注目する。奇素数の冪は奇数であるから、両辺の偶奇をそろえるためには $p,q$ のうち少なくとも一方が $2$ でなければならない。そこで $p=2$ または $q=2$ に分けて調べる。

解法1

(1)

$6$ 以上の整数 $n$ に対して

$$ 2^n>n^2+7 $$

が成り立つことを示す。

まず $n=6$ のとき

$$ 2^6=64,\qquad 6^2+7=43 $$

より

$$ 2^6>6^2+7 $$

である。

次に、ある整数 $k\geqq 6$ に対して

$$ 2^k>k^2+7 $$

が成り立つと仮定する。このとき

$$ 2^{k+1}=2\cdot 2^k>2(k^2+7)=2k^2+14 $$

である。一方、

$$ 2k^2+14-{(k+1)^2+7} =2k^2+14-(k^2+2k+8) =k^2-2k+6 =(k-1)^2+5>0 $$

であるから、

$$ 2k^2+14>(k+1)^2+7 $$

したがって

$$ 2^{k+1}>(k+1)^2+7 $$

が成り立つ。

以上より、数学的帰納法により、すべての整数 $n\geqq 6$ に対して

$$ 2^n>n^2+7 $$

が成り立つ。

（2） 素数の組 $(p,q)$ で

$$ p^q=q^p+7 $$

を満たすものをすべて求める。

まず、$p,q$ がともに奇素数であるとする。このとき $p^q,q^p$ はともに奇数であるから、

$$ q^p+7 $$

は偶数になる。よって

$$ p^q=q^p+7 $$

の左辺は奇数、右辺は偶数となり矛盾する。

したがって、$p,q$ のうち少なくとも一方は $2$ である。

(i)

$p=2$ の場合

このとき

$$ 2^q=q^2+7 $$

である。

$q=2$ なら

$$ 2^2=4\neq 11=2^2+7 $$

で不適。

$q=3$ なら

$$ 2^3=8\neq 16=3^2+7 $$

で不適。

$q=5$ なら

$$ 2^5=32=25+7=5^2+7 $$

となり適する。

$q\geqq 7$ の素数なら、（1） より

$$ 2^q>q^2+7 $$

となるので不適。

よって $p=2$ の場合は

$$ q=5 $$

のみである。

(ii)

$q=2$ の場合

このとき

$$ p^2=2^p+7 $$

すなわち

$$ 2^p=p^2-7 $$

である。

$p=2$ なら不適である。

$p=3$ なら

$$ 2^3=8\neq 2=3^2-7 $$

で不適。

$p=5$ なら

$$ 2^5=32\neq 18=5^2-7 $$

で不適。

$p\geqq 7$ の素数なら、（1） より

$$ 2^p>p^2+7>p^2-7 $$

となるから

$$ 2^p=p^2-7 $$

は成り立たない。

したがって $q=2$ の場合に解はない。

以上より、求める素数の組は

$$ (p,q)=(2,5) $$

のみである。

解説

（1） の帰納法では、帰納法の仮定をそのまま使うだけでなく、$2^{k+1}=2\cdot 2^k$ として $2$ 倍し、$(k+1)^2+7$ と比較するのが基本である。

（2） は式の形だけを見ると複雑であるが、奇素数の冪は奇数であることから、偶奇を調べるだけで「両方奇素数」はすぐ排除できる。その後は $p=2$ または $q=2$ に限られ、（1） の指数関数の増加の速さを使えば有限個の確認で終わる。

答え

$$ 2^n>n^2+7\qquad (n\geqq 6) $$

は数学的帰納法により成り立つ。

また、

$$ p^q=q^p+7 $$

を満たす素数の組は

$$ (p,q)=(2,5) $$

のみである。