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東京工業大学 2017年理系第2問解説

方針・初手

被積分関数に絶対値が含まれていること、および三角関数のみで構成されていることに着目し、関数の周期性を調べることから始める。周期性が確認できれば、調べるべき $x$ の区間を1周期分に限定できる。その後、$f(x)$ を $x$ で微分し、導関数の符号から増減表を作成して極値を求める。定積分の計算においては、絶対値を外せるように区間を分割し、置換積分を用いて計算を進める。

解法1

被積分関数を $g(t) = \frac{|\sin t|}{1+\sin^2 t}$ とおく。

$$ g(t+\pi) = \frac{|\sin(t+\pi)|}{1+\sin^2(t+\pi)} = \frac{|-\sin t|}{1+(-\sin t)^2} = \frac{|\sin t|}{1+\sin^2 t} = g(t) $$

よって、$g(t)$ は周期 $\pi$ の関数である。これを用いると、$f(x+\pi)$ は次のように変形できる。

$$ f(x+\pi) = \int_{x+\pi}^{x+\pi+\frac{\pi}{2}} g(t) dt $$

ここで、$t = u+\pi$ と置換すると $dt = du$ であり、積分区間は $x$ から $x+\frac{\pi}{2}$ となるため、

$$ f(x+\pi) = \int_{x}^{x+\frac{\pi}{2}} g(u+\pi) du = \int_{x}^{x+\frac{\pi}{2}} g(u) du = f(x) $$

となり、$f(x)$ も周期 $\pi$ の関数であることがわかる。したがって、$0 \leqq x \leqq \pi$ の区間で $f(x)$ の増減を調べれば十分である。

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = g\left(x+\frac{\pi}{2}\right) - g(x) = \frac{|\cos x|}{1+\cos^2 x} - \frac{|\sin x|}{1+\sin^2 x} $$

$f'(x)$ の符号を調べるために、上式を通分して分子を計算する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{|\cos x|(1+\sin^2 x) - |\sin x|(1+\cos^2 x)}{(1+\cos^2 x)(1+\sin^2 x)} \\ &= \frac{(|\cos x| - |\sin x|) - |\cos x||\sin x|(|\cos x| - |\sin x|)}{(1+\cos^2 x)(1+\sin^2 x)} \\ &= \frac{(|\cos x| - |\sin x|)(1 - |\cos x||\sin x|)}{(1+\cos^2 x)(1+\sin^2 x)} \end{aligned} $$

任意の $x$ において $1+\cos^2 x > 0$、$1+\sin^2 x > 0$ であり、また $|\cos x||\sin x| = \frac{1}{2}|\sin 2x| \leqq \frac{1}{2}$ より $1 - |\cos x||\sin x| > 0$ である。したがって、$f'(x)$ の符号は $|\cos x| - |\sin x|$ の符号と一致する。

$0 \leqq x \leqq \pi$ において $\cos 2x = 0$ となるのは、$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$、すなわち $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ のときである。これをもとに増減表を書くと次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{3\pi}{4}$	$\cdots$	$\pi$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表と $f(0) = f(\pi)$ より、$x = \frac{\pi}{4}$ で最大値、$x = \frac{3\pi}{4}$ で最小値をとることがわかる。それぞれ計算する。

最大値の計算

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{|\sin t|}{1+\sin^2 t} dt $$

区間 $\frac{\pi}{4} \leqq t \leqq \frac{3\pi}{4}$ では $\sin t > 0$ であるため、絶対値記号はそのまま外れる。

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\sin t}{1+\sin^2 t} dt $$

$\cos t = u$ と置換すると、$dt = -\frac{1}{\sin t} du$ であり、$t$ が $\frac{\pi}{4}$ から $\frac{3\pi}{4}$ に変化するとき、$u$ は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ へ変化する。また、$\sin^2 t = 1 - u^2$ である。

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin t}{1+(1-u^2)} \left(-\frac{1}{\sin t}\right) du \\ &= \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{2-u^2} du \end{aligned} $$

被積分関数は偶関数であるから、

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{2-u^2} du $$

部分分数分解を用いて積分を計算する。

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}-u} + \frac{1}{\sqrt{2}+u} \right) du \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ -\log|\sqrt{2}-u| + \log|\sqrt{2}+u| \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \log \left| \frac{\sqrt{2}+u}{\sqrt{2}-u} \right| \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \log \frac{\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}} - \log 1 \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \log \frac{2+1}{2-1} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \log 3 \end{aligned} $$

最小値の計算

$$ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{|\sin t|}{1+\sin^2 t} dt $$

$\sin t$ の符号が変わる $t = \pi$ で積分区間を分割する。

$$ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \frac{\sin t}{1+\sin^2 t} dt + \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}} \frac{-\sin t}{1+\sin^2 t} dt $$

最大値のときと同様に $\cos t = u$ と置換する。

第1項について、$t$ が $\frac{3\pi}{4}$ から $\pi$ のとき、$u$ は $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $-1$。第2項について、$t$ が $\pi$ から $\frac{5\pi}{4}$ のとき、$u$ は $-1$ から $-\frac{1}{\sqrt{2}}$。$\sin t \leqq 0$ なので、$-\sin t dt = du$ を用いると $dt = \frac{1}{-\sin t} du$。

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{-1} \frac{\sin t}{2-u^2} \left(-\frac{1}{\sin t}\right) du + \int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{-\sin t}{2-u^2} \left(\frac{1}{-\sin t}\right) du \\ &= \int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{2-u^2} du + \int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{2-u^2} du \\ &= 2 \int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{2-u^2} du \end{aligned} $$

偶関数であるから、次のように変形して計算する。

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{3\pi}{4}\right) &= 2 \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{1}{2-u^2} du \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \log \left| \frac{\sqrt{2}+u}{\sqrt{2}-u} \right| \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \log \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} - \log 3 \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \log (\sqrt{2}+1)^2 - \log 3 \right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \log \frac{3+2\sqrt{2}}{3} \end{aligned} $$

解説

定積分で定義された関数の最大・最小を求める標準的な問題である。被積分関数が周期関数であることを利用して、調べる範囲を1周期分に絞り込む発想が重要になる。$f'(x)$ の符号判定においては、直接微分するのではなく、分子の差の形に着目して変形すると、初等的な三角関数の知識のみで符号が決定できる。積分計算においては、絶対値を外すための区間分割と、$\cos t = u$ の置換積分を用いた部分分数分解が定石である。