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東京工業大学 2018年理系第4問解説

方針・初手

(1) は、直線と平面の方程式の基本問題である。平面の法線ベクトルから方程式を立て、交点の座標を求める。
(2) は空間内の回転体の体積を求める問題である。回転軸 $l$ 上の点を中心とし $l$ に垂直な平面 $H_t$ による切り口を考える。
領域 $V$ に含まれる最大の回転体を作るためには、各 $H_t$ 上において $V$ に含まれる最大の円板を考えればよい。その半径は、中心 $P_t$ から $V$ の境界までの最短距離となる。
直線 $l$ 上の点 $P_t$ は原点からの距離が $|t|$ であるから、回転体の体積は断面積を $t$ で直接積分して求められる。

解法1

(1)

直線 $l$ は2点 $(2, 0, 2), (-2, 0, -2)$ を通るため、その方向ベクトルとして $\vec{d} = (1, 0, 1)$ をとることができる。点 $P_t \left( \frac{t}{\sqrt{2}}, 0, \frac{t}{\sqrt{2}} \right)$ を通り、$l$ に垂直な平面 $H_t$ の方程式は、$\vec{d}$ を法線ベクトルとして

$$ 1 \cdot \left(x - \frac{t}{\sqrt{2}}\right) + 0 \cdot (y - 0) + 1 \cdot \left(z - \frac{t}{\sqrt{2}}\right) = 0 $$

整理すると、

$$ x + z = \sqrt{2}t $$

となる。一方、直線 $L_\theta$ は点 $(2\cos\theta, \sin\theta, 0)$ を通り $z$ 軸に平行であるから、$L_\theta$ 上の任意の点は実数 $z$ を用いて $(2\cos\theta, \sin\theta, z)$ と表せる。この点が平面 $H_t$ 上にあるとき、

$$ 2\cos\theta + z = \sqrt{2}t $$

$$ z = \sqrt{2}t - 2\cos\theta $$

これが求める交点の $z$ 座標である。

(2)

領域 $V$ は、楕円柱 $\frac{x^2}{4} + y^2 \leqq 1$ と、領域 $|z| \leqq 6$ の共通部分である。 $l$ を回転軸とする回転体が $V$ に含まれるためには、各点 $P_t$ を中心とし、平面 $H_t$ 上にある円板が、$V$ と $H_t$ の共通部分に含まれる必要がある。また、$P_t$ は原点から方向ベクトル $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ の向きに $t$ だけ進んだ点であるから、$t$ がそのまま積分変数（弧長パラメータ）となる。中心 $P_t$ が楕円柱 $\frac{x^2}{4} + y^2 \leqq 1$ に含まれる条件は、

$$ \frac{1}{4}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 + 0^2 \leqq 1 \iff t^2 \leqq 8 \iff |t| \leqq 2\sqrt{2} $$

であり、これは問題文の設定と一致する。

平面 $H_t$ 上で、$P_t$ を中心とし $V$ に含まれる最大の円の半径を $R(t)$ とする。 (1) で求めた $L_\theta$ と $H_t$ の交点は、楕円柱の側面 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ と平面 $H_t$ の交線上の点である。その座標は $Q(\theta) = (2\cos\theta, \sin\theta, \sqrt{2}t - 2\cos\theta)$ と表せる。ここで、$Q(\theta)$ の $z$ 座標のとりうる範囲を確認する。$|t| \leqq 2\sqrt{2}$ と $-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ より、

$$ -4 - 2 \leqq \sqrt{2}t - 2\cos\theta \leqq 4 + 2 \iff -6 \leqq z \leqq 6 $$

となり、交線上の点は常に $|z| \leqq 6$ を満たす。したがって、$z = \pm 6$ の平面が回転体の大きさを制限することはなく、円の最大半径は $P_t$ と交線との距離だけで決まる。

点 $P_t$ と $Q(\theta)$ の距離の2乗を $f(\theta)$ とおくと、

$$ f(\theta) = \left(2\cos\theta - \frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 + \sin^2\theta + \left(\sqrt{2}t - 2\cos\theta - \frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 $$

$$ \sqrt{2}t - \frac{t}{\sqrt{2}} = \frac{t}{\sqrt{2}} $$

であることに注意して展開すると、

$$ f(\theta) = \left(2\cos\theta - \frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1 - \cos^2\theta + \left(\frac{t}{\sqrt{2}} - 2\cos\theta\right)^2 $$

$$ = 2\left(2\cos\theta - \frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1 - \cos^2\theta $$

$$ = 2\left(4\cos^2\theta - 2\sqrt{2}t\cos\theta + \frac{t^2}{2}\right) + 1 - \cos^2\theta $$

$$ = 7\cos^2\theta - 4\sqrt{2}t\cos\theta + t^2 + 1 $$

$u = \cos\theta$ ($-1 \leqq u \leqq 1$) とおき、

$$ g(u) = 7u^2 - 4\sqrt{2}tu + t^2 + 1 = 7\left(u - \frac{2\sqrt{2}t}{7}\right)^2 - \frac{t^2}{7} + 1 $$

とする。$R(t)^2$ は $g(u)$ の $-1 \leqq u \leqq 1$ における最小値である。回転体の体積は $V_{rot} = \int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \pi R(t)^2 \, dt$ と表され、$g(u)$ の形から $R(-t)^2 = R(t)^2$ が成り立つため、$t \geqq 0$ の範囲を考えて2倍すればよい。区間 $0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$ において、$g(u)$ の軸は $u = \frac{2\sqrt{2}t}{7} \geqq 0$ である。

(i)

$0 \leqq \frac{2\sqrt{2}t}{7} \leqq 1 \iff 0 \leqq t \leqq \frac{7\sqrt{2}}{4}$ のとき

最小値は頂点においてとるから、

$$ R(t)^2 = -\frac{t^2}{7} + 1 $$

(ii)

$1 < \frac{2\sqrt{2}t}{7} \iff \frac{7\sqrt{2}}{4} < t \leqq 2\sqrt{2}$ のとき

最小値は $u = 1$ のときにとるから、

$$ R(t)^2 = g(1) = 7 - 4\sqrt{2}t + t^2 + 1 = (t - 2\sqrt{2})^2 $$

以上より、求める体積 $V_{rot}$ は、

$$ V_{rot} = 2\pi \left( \int_{0}^{\frac{7\sqrt{2}}{4}} \left(-\frac{t^2}{7} + 1\right) dt + \int_{\frac{7\sqrt{2}}{4}}^{2\sqrt{2}} (t - 2\sqrt{2})^2 dt \right) $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{\frac{7\sqrt{2}}{4}} \left(-\frac{t^2}{7} + 1\right) dt = \left[ -\frac{t^3}{21} + t \right]_{0}^{\frac{7\sqrt{2}}{4}} = -\frac{1}{21}\left(\frac{7\sqrt{2}}{4}\right)^3 + \frac{7\sqrt{2}}{4} $$

$$ = -\frac{1}{21} \cdot \frac{343 \cdot 2\sqrt{2}}{64} + \frac{7\sqrt{2}}{4} = -\frac{49\sqrt{2}}{96} + \frac{168\sqrt{2}}{96} = \frac{119\sqrt{2}}{96} $$

$$ \int_{\frac{7\sqrt{2}}{4}}^{2\sqrt{2}} (t - 2\sqrt{2})^2 dt = \left[ \frac{1}{3}(t - 2\sqrt{2})^3 \right]_{\frac{7\sqrt{2}}{4}}^{2\sqrt{2}} = 0 - \frac{1}{3}\left(\frac{7\sqrt{2}}{4} - \frac{8\sqrt{2}}{4}\right)^3 $$

$$ = -\frac{1}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^3 = \frac{2\sqrt{2}}{192} = \frac{\sqrt{2}}{96} $$

これらを足し合わせると、

$$ V_{rot} = 2\pi \left( \frac{119\sqrt{2}}{96} + \frac{\sqrt{2}}{96} \right) = 2\pi \cdot \frac{120\sqrt{2}}{96} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\pi $$

解説

空間における回転体の体積を求める典型かつ応用的な問題である。 (1) でわざわざ交点の $z$ 座標を求めさせているのは、(2) で「$z = \pm 6$ の切り欠きによる影響を考えなくてよい（側面までの距離だけで半径が決まる）」ことを受験生に確認させるための巧妙な誘導である。回転体の断面積を求める際、中心と境界の距離の最小値を求める帰着はよくあるが、媒介変数の置き方や場合分けの区間の処理で計算量に差が出るため、焦らずに平方完成等で丁寧に処理したい。