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名古屋大学 1986年理系第3問解説

方針・初手

空間図形における回転体の体積を求める定石通り、回転軸 $l$ に垂直な平面で立体を切断して考えます。

回転軸 $l$ は $z$ 軸に平行であるため、平面 $z=t$ で三角形の板を切断し、その断面に現れる線分を $l$ を中心に1回転させた図形（円環）の面積を求め、それを $z$ 軸方向に積分するという方針をとります。その際、線分上の点と回転軸との距離の最大値と最小値の計算において、場合分けが必要になることに注意して進めます。

解法1

与えられた3点を $A(1, 1, 0)$、$B(1, 0, 1)$、$C(1, -1, 0)$ とし、これらを頂点とする三角形の板（境界および内部）を $D$ とする。頂点の $x$ 座標はすべて $1$ であるため、$D$ は平面 $x=1$ 上の領域である。

$D$ を平面 $z=t$ ($0 \le t \le 1$) で切断したときの断面を考える。線分 $AB$ および線分 $BC$ を含む直線は、平面 $x=1$ 上においてそれぞれ $y = 1-z \quad (0 \le z \le 1)$ $y = z-1 \quad (0 \le z \le 1)$ と表される。したがって、領域 $D$ は連立不等式 $$ \begin{cases} x = 1 \\ 0 \le z \le 1 \\ z - 1 \le y \le 1 - z \end{cases} $$ を満たす点の集合である。これを平面 $z=t$ ($0 \le t \le 1$) で切断した断面の図形 $L_t$ は、 $$ x = 1, \quad z = t, \quad t - 1 \le y \le 1 - t $$ を満たす線分となる。

直線 $l$ は点 $(0, a, 0)$ を通り $z$ 軸に平行な直線であるから、平面 $z=t$ における $l$ 上の点は $P(0, a, t)$ である。線分 $L_t$ を直線 $l$ を軸として1回転させてできる図形は、平面 $z=t$ 上において点 $P$ を中心とする円環（または円）となる。

線分 $L_t$ 上の点 $Q(1, y, t)$ と点 $P(0, a, t)$ の距離の2乗を $r^2$ とすると、 $$ r^2 = (1 - 0)^2 + (y - a)^2 + (t - t)^2 = (y - a)^2 + 1 $$ となる。 $y$ が $t - 1 \le y \le 1 - t$ の範囲を動くときの $r^2$ の最大値を $M^2$、最小値を $m^2$ とすると、平面 $z=t$ における回転体の断面積 $S(t)$ は $$ S(t) = \pi (M^2 - m^2) $$ で与えられる。

関数 $f(y) = (y - a)^2 + 1$ とおく。区間 $t - 1 \le y \le 1 - t$ の中点は $y = 0$ であり、放物線 $f(y)$ の軸は $y = a$ である。条件より $a > 0$ であるから、軸 $y=a$ は常に区間の中点より右側にある。したがって、最大値 $M^2$ は常に区間の左端 $y = t - 1$ でとり、 $$ M^2 = f(t - 1) = (t - 1 - a)^2 + 1 = (a + 1 - t)^2 + 1 $$ となる。

一方、最小値 $m^2$ は、軸 $y=a$ が区間に含まれるかどうかで変化する。軸が区間に含まれる条件は $t - 1 \le a \le 1 - t$ であるが、$a > 0$ かつ $t - 1 \le 0$ より、この条件は $a \le 1 - t$ すなわち $t \le 1 - a$ と同値である。定数 $a$ の値によって、以下の2つの場合に分けて考える。

(i) $a \ge 1$ のとき $0 \le t \le 1$ の範囲で常に $t \ge 1 - a$ となるため、軸 $y=a$ は常に区間の右側にあり区間に含まれない。したがって、最小値は右端 $y = 1 - t$ でとる。 $$ m^2 = f(1 - t) = (1 - t - a)^2 + 1 = (a - 1 + t)^2 + 1 $$ このとき、断面積 $S(t)$ は $$ \begin{aligned} S(t) &= \pi \left\{ (a + 1 - t)^2 + 1 - \left( (a - 1 + t)^2 + 1 \right) \right\} \\ &= \pi \left\{ (a + 1 - t)^2 - (a - 1 + t)^2 \right\} \\ &= \pi \{ (a + 1 - t) + (a - 1 + t) \} \{ (a + 1 - t) - (a - 1 + t) \} \\ &= \pi (2a) (2 - 2t) \\ &= 4\pi a (1 - t) \end{aligned} $$ よって、求める体積 $V$ は $$ V = \int_0^1 S(t) \,dt = \int_0^1 4\pi a (1 - t) \,dt = 4\pi a \left[ -\frac{1}{2}(1 - t)^2 \right]_0^1 = 2\pi a $$

(ii) $0 < a < 1$ のとき $0 \le t \le 1 - a$ のとき、軸 $y=a$ は区間に含まれるため、最小値は頂点でとる。 $$ m^2 = f(a) = 1 $$ このときの断面積を $S_1(t)$ とすると、 $$ S_1(t) = \pi \left\{ (a + 1 - t)^2 + 1 - 1 \right\} = \pi (a + 1 - t)^2 $$ となる。

$1 - a \le t \le 1$ のとき、軸 $y=a$ は区間に含まれず右側にあるため、(i) と同様に最小値は右端でとる。このときの断面積を $S_2(t)$ とすると、(i) の結果から $$ S_2(t) = 4\pi a (1 - t) $$ となる。

よって、求める体積 $V$ は $$ V = \int_0^{1-a} S_1(t) \,dt + \int_{1-a}^1 S_2(t) \,dt $$ ここで、それぞれの積分を計算すると $$ \begin{aligned} \int_0^{1-a} S_1(t) \,dt &= \int_0^{1-a} \pi (a + 1 - t)^2 \,dt \\ &= \pi \left[ -\frac{1}{3}(a + 1 - t)^3 \right]_0^{1-a} \\ &= -\frac{\pi}{3} \left\{ (2a)^3 - (a + 1)^3 \right\} \\ &= \frac{\pi}{3} ( -7a^3 + 3a^2 + 3a + 1 ) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \int_{1-a}^1 S_2(t) \,dt &= \int_{1-a}^1 4\pi a (1 - t) \,dt \\ &= 4\pi a \left[ -\frac{1}{2}(1 - t)^2 \right]_{1-a}^1 \\ &= 4\pi a \left( 0 - \left( -\frac{1}{2}a^2 \right) \right) \\ &= 2\pi a^3 \end{aligned} $$ これらを足し合わせて $$ \begin{aligned} V &= \frac{\pi}{3} ( -7a^3 + 3a^2 + 3a + 1 ) + 2\pi a^3 \\ &= \frac{\pi}{3} ( -7a^3 + 3a^2 + 3a + 1 + 6a^3 ) \\ &= \frac{\pi}{3} ( -a^3 + 3a^2 + 3a + 1 ) \end{aligned} $$

解説

空間図形の回転体の体積を求めるにあたり、もっとも標準的な「回転軸に垂直な平面で切断し、その断面の回転を考える」という手法を用いる問題です。

本問のポイントは、断面に現れる線分と回転中心の距離を $y$ の2次関数として捉え、その最大値・最小値を求める部分にあります。区間の位置と放物線の軸の位置関係によって最小値をとる場所が変化するため、$a$ の値による場合分けが不可欠となります。定数 $a$ が含まれることで難易度が上がっていますが、2次関数の最大・最小という数学Iの基本操作を正確に実行できるかが問われています。