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東京工業大学 2000年理系第3問解説

方針・初手

断面の三角形の3辺がそれぞれ三角柱の側面上にあるためには、切断面は底面と交わらず、3つの側稜（側面の縦の辺）と交わる必要がある。したがって、断面の頂点は3つの側稜上に1つずつ存在することになる。各側稜上における高さを変数として設定し、ベクトルを用いて断面の三角形の3辺の長さを表現する。三平方の定理から直角三角形となる条件を立式し、面積を変数の関数として表したのち、変数のとりうる範囲に注意して最大値と最小値を求める。

解法1

底面の正三角形の頂点を $A, B, C$ とし、各頂点を通る側稜に平行で上向きの単位ベクトルを $\vec{e}$ とする。断面の三角形の頂点を $P, Q, R$ とすると、これらは側稜上にあるため、実数 $p, q, r$ を用いて次のように表せる。

$$ \vec{AP} = p\vec{e}, \quad \vec{BQ} = q\vec{e}, \quad \vec{CR} = r\vec{e} \quad (0 \leqq p, q, r \leqq 2) $$

このとき、辺 $\vec{PQ}$ は次のように分解できる。

$$ \vec{PQ} = \vec{PB} + \vec{BQ} = -\vec{AP} + \vec{AB} + \vec{BQ} = \vec{AB} + (q-p)\vec{e} $$

$\vec{e}$ は底面と直交するので $\vec{AB} \cdot \vec{e} = 0$ であり、$|\vec{AB}|=1$ であるから、

$$ |\vec{PQ}|^2 = |\vec{AB}|^2 + (q-p)^2 = 1 + (p-q)^2 $$

同様にして、他の2辺の長さの2乗も次のように求まる。

$$ \begin{aligned} |\vec{QR}|^2 &= 1 + (q-r)^2 \\ |\vec{RP}|^2 &= 1 + (r-p)^2 \end{aligned} $$

ここで、$x = p-q, y = q-r$ とおく。$r-p = -(x+y)$ であるから、三角形の3辺の長さの2乗は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} PQ^2 &= 1 + x^2 \\ QR^2 &= 1 + y^2 \\ RP^2 &= 1 + (x+y)^2 \end{aligned} $$

$\triangle PQR$ が直角三角形になる条件を考える。対称性から、$\angle Q = 90^\circ$ の場合を調べれば十分である。このとき三平方の定理より $PQ^2 + QR^2 = RP^2$ が成り立つから、

$$ (1 + x^2) + (1 + y^2) = 1 + (x+y)^2 $$

これを展開して整理すると、

$$ 2xy = 1 \iff xy = \frac{1}{2} $$

このとき、直角三角形の面積 $S$ は次のように計算できる。

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{PQ^2 \cdot QR^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} $$

両辺を2乗して $xy = \frac{1}{2}$ を用いると、

$$ \begin{aligned} S^2 &= \frac{1}{4}(1 + x^2 + y^2 + x^2y^2) \\ &= \frac{1}{4} \left\{ (x+y)^2 - 2xy + 1 + \frac{1}{4} \right\} \\ &= \frac{1}{4} \left\{ (x+y)^2 - 1 + 1 + \frac{1}{4} \right\} \\ &= \frac{1}{4} \left\{ (x+y)^2 + \frac{1}{4} \right\} \end{aligned} $$

ここで、$t = x+y$ とおき、$t^2$ のとりうる値の範囲を調べる。実数の性質から $(x-y)^2 \geqq 0 \iff x^2+y^2 \geqq 2xy$ であるため、

$$ t^2 = (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \geqq 4xy = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 $$

さらに、$0 \leqq p, q, r \leqq 2$ を満たすための条件を考える。 $p = q+x, r = q-y$ を代入すると、

$$ \begin{cases} 0 \leqq q+x \leqq 2 \iff -x \leqq q \leqq 2-x \\ 0 \leqq q \leqq 2 \\ 0 \leqq q-y \leqq 2 \iff y \leqq q \leqq 2+y \end{cases} $$

これらをすべて満たす実数 $q$ が存在するための必要十分条件は、3つの区間 $[-x, 2-x], [0, 2], [y, 2+y]$ が共通部分を持つことである。これは各区間の「左端の最大値」が「右端の最小値」以下になることと同値なので、

$$ \max(-x, 0, y) \leqq \min(2-x, 2, 2+y) $$

$xy = \frac{1}{2} > 0$ より $x$ と $y$ は同符号であるため、以下の2つの場合に分けて考える。

(i)

$x > 0, y > 0$ のとき左辺は $y$、右辺は $2-x$ となるから、

$$ y \leqq 2-x \iff x+y \leqq 2 $$

すなわち $t \leqq 2$ となり、$t > 0$ と合わせると $0 < t \leqq 2$ より $t^2 \leqq 4$ である。

(ii)

$x < 0, y < 0$ のとき左辺は $-x$、右辺は $2+y$ となるから、

$$ -x \leqq 2+y \iff x+y \geqq -2 $$

すなわち $t \geqq -2$ となり、$t < 0$ と合わせると $-2 \leqq t < 0$ より $t^2 \leqq 4$ である。

（i）、（ii）および $t^2 \geqq 2$ を合わせると、$t^2$ のとりうる値の範囲は $2 \leqq t^2 \leqq 4$ となる。この範囲の任意の $t^2$ に対し、条件を満たす $x, y$ および $q$ が存在し、対応する $p, q, r$ を構成できる。

したがって、$S^2$ のとりうる値の範囲は、

$$ \begin{aligned} t^2 &= 2 \text{ のとき、最小値 } S^2 = \frac{1}{4} \left( 2 + \frac{1}{4} \right) = \frac{9}{16} \\ t^2 &= 4 \text{ のとき、最大値 } S^2 = \frac{1}{4} \left( 4 + \frac{1}{4} \right) = \frac{17}{16} \end{aligned} $$

よって、$\frac{9}{16} \leqq S^2 \leqq \frac{17}{16}$ となる。$S > 0$ であるから、各辺の正の平方根をとって面積 $S$ の範囲が得られる。

解説

立体図形の切断に関する問題である。座標空間に立体の頂点を配置して平面の方程式を用いる解法も考えられるが、本解法のように各側稜方向のベクトルを独立した変数として扱うと、各辺の長さが対称性の高い簡潔な式で表せる。また、$p, q, r$ が区間 $[0, 2]$ に収まるという制限から $q$ についての連立不等式を作り、「共通解が存在する条件（$\max \leqq \min$）」に帰着させる処理は、線形計画法などでも頻出の重要な考え方である。