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東京工業大学 2018年理系第3問解説

方針・初手

与えられた方程式 $e^x(1 - \sin x) = 1$ の両辺に $e^{-x}$ を掛け、$\sin x = 1 - e^{-x}$ の形に変形して、$y = \sin x$ と $y = 1 - e^{-x}$ のグラフの交点について考える。

(1) では、$x < 0$ の範囲において両関数の間に $y = x$ を挟むことで大小関係を評価し、交点がないことを示す。$x > 0$ の範囲では、中間値の定理を用いて周期ごとに解が存在することを示す。

(2) では、まず解が存在する区間を特定し、つぎに各区間に何個の解があるかを調べる。その結果から $a_k$ の範囲を評価し、和 $S_n$ をはさみうちで処理する。

解法1

(1)

方程式 $e^x(1 - \sin x) = 1$ の両辺に $e^{-x} > 0$ を掛けると、

$$ 1 - \sin x = e^{-x} \iff \sin x = 1 - e^{-x} $$

となる。関数 $f(x) = \sin x - x$、および $g(x) = 1 - e^{-x} - x$ を考える。 $x < 0$ において、 $f'(x) = \cos x - 1 \leqq 0$ より $f(x)$ は単調に減少する。 $f(0) = 0$ であるから、$x < 0$ のとき $f(x) > 0$ すなわち $\sin x > x$ である。また、$x < 0$ ならば $-x > 0$ より $e^{-x} > 1$ であるから、 $g'(x) = e^{-x} - 1 > 0$ となり、$g(x)$ は単調に増加する。 $g(0) = 0$ であるから、$x < 0$ のとき $g(x) < 0$ すなわち $1 - e^{-x} < x$ である。したがって、$x < 0$ において、

$$ 1 - e^{-x} < x < \sin x $$

が成り立ち、$\sin x = 1 - e^{-x}$ を満たす負の実数解は存在しない。（証明終）

次に、正の実数解について考える。関数 $h(x) = \sin x - 1 + e^{-x}$ とおく。$h(x)$ は実数全体で連続であり、正の実数解は $h(x) = 0 \ (x > 0)$ の解である。各自然数 $m \geqq 1$ に対して、区間 $I_m = \left[2m\pi, 2m\pi + \frac{\pi}{2}\right]$ を考える。

$$ h(2m\pi) = \sin 2m\pi - 1 + e^{-2m\pi} = -1 + e^{-2m\pi} $$

$m \geqq 1$ より $e^{-2m\pi} < 1$ であるから、$h(2m\pi) < 0$ である。また、

$$ h\left(2m\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1 - 1 + e^{-\left(2m\pi + \frac{\pi}{2}\right)} = e^{-\left(2m\pi + \frac{\pi}{2}\right)} > 0 $$

したがって、中間値の定理により、$h(x) = 0$ は区間 $\left(2m\pi, 2m\pi + \frac{\pi}{2}\right)$ に少なくとも1つの解を持つ。各 $m \geqq 1$ に対応するこれらの区間は互いに素であるため、正の実数解は無限個存在する。（証明終）

(2)

正の実数解 $a_k$ の分布を詳細に調べる。

まず、解が現れる区間を絞る。 $x > 0$ のとき、$0 < 1 - e^{-x} < 1$ である。 $\sin x \leqq 0$ となる区間 $[2j\pi + \pi, 2j\pi + 2\pi]$ （$j = 0, 1, 2, \dots$）においては、$h(x) < 0$ となり解を持たない。したがって、正の解は区間 $(2j\pi, 2j\pi + \pi)$ のいずれかに存在する。

次に、各区間での解の個数を調べる。各区間における解の個数を調べるため、導関数を考える。

$$ h'(x) = \cos x + e^{-x} $$

$$ h''(x) = -\sin x - e^{-x} $$

(i) $j = 0$ のとき（区間 $(0, \pi)$）

区間 $(0, \pi)$ において $\sin x > 0$、$e^{-x} > 0$ より $h''(x) < 0$ となり、$h'(x)$ は単調に減少する。 $h'(0) = 2 > 0$、$h'(\pi) = -1 + e^{-\pi} < 0$ より、$h'(x) = 0$ となる点がただ1つ存在し、$h(x)$ は増加から減少に転じる。 $h(0) = 0$ であるため、単調に増加する区間では $h(x) > 0$ となり正の解を持たない。一方、$h(\pi) = -1 + e^{-\pi} < 0$ であるため、減少する区間でただ1つの解を持つ。ゆえに、区間 $(0, \pi)$ に解はただ1つ存在し、これが $a_1$ である。

(ii) $j \geqq 1$ のとき（区間 $(2j\pi, 2j\pi + \pi)$）

区間 $\left[2j\pi, 2j\pi + \frac{\pi}{2}\right]$ では $\cos x \geqq 0$ より $h'(x) > 0$ となり、$h(x)$ は単調に増加する。 $h(2j\pi) = -1 + e^{-2j\pi} < 0$、$h\left(2j\pi + \frac{\pi}{2}\right) > 0$ より、この区間にただ1つの解を持つ。区間 $\left[2j\pi + \frac{\pi}{2}, 2j\pi + \pi\right]$ では $\sin x \geqq 0$ より $h''(x) < 0$ となり、$h'(x)$ は単調に減少する。 $h'\left(2j\pi + \frac{\pi}{2}\right) > 0$、$h'(2j\pi + \pi) < 0$ より、$h(x)$ は増加から減少に転じる。 $h(2j\pi + \pi) = -1 + e^{-(2j\pi + \pi)} < 0$ より、減少区間にただ1つの解を持つ。ゆえに、区間 $(2j\pi, 2j\pi + \pi)$ に解はちょうど2つ存在する。

以上を並べると、

$a_1 \in (0, \pi)$
$a_2, a_3 \in (2\pi, 3\pi)$
$a_4, a_5 \in (4\pi, 5\pi)$

となる。

以上から、正の実数解 $a_k$ は以下のように分布する。

一般に、任意の自然数 $k$ に対して、$j = \left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor$ とおくと（$\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数）、$a_k$ は区間 $(2j\pi, 2j\pi + \pi)$ に存在する。すなわち、

$$ 2 \left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor \pi < a_k < \left(2 \left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor + 1\right) \pi $$

が成り立つ。

ここから和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ を評価する。数列 $c_k = \left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor$ は、$0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, \dots$ となる。和 $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$ を求める。

(ア) $n$ が偶数（$n=2m$）のとき

$$ T_{2m} = 0 + 2 \sum_{i=1}^{m-1} i + m = m(m-1) + m = m^2 = \frac{n^2}{4} $$

(イ) $n$ が奇数（$n=2m+1$）のとき

$$ T_{2m+1} = 0 + 2 \sum_{i=1}^m i = m(m+1) = \frac{n-1}{2} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n^2-1}{4} $$

各 $k$ について $2\pi c_k < a_k < 2\pi c_k + \pi$ であるから、辺々を足し合わせると

$$ 2\pi T_n < S_n < 2\pi T_n + n\pi $$

が成り立つ。 $n$ が偶数のとき、

$$ \frac{\pi}{2}n^2 < S_n < \frac{\pi}{2}n^2 + n\pi $$

両辺を $n^2$ で割ると、

$$ \frac{\pi}{2} < \frac{S_n}{n^2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{n} $$

$n \to \infty$ のとき、最右辺は $\frac{\pi}{2}$ に収束する。

$n$ が奇数のとき、

$$ \frac{\pi}{2}(n^2-1) < S_n < \frac{\pi}{2}(n^2-1) + n\pi $$

両辺を $n^2$ で割ると、

$$ \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) < \frac{S_n}{n^2} < \frac{\pi}{2}\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) + \frac{\pi}{n} $$

$n \to \infty$ のとき、両辺とも $\frac{\pi}{2}$ に収束する。

以上のはさみうちの原理より、極限値は $\frac{\pi}{2}$ である。

解説

方程式の解の個数や近似的な位置を評価して極限を求める、微積分と極限の融合問題である。 (1)の負の解を持たないことの証明では、$1 - e^{-x} < x < \sin x \ (x < 0)$ という不等式評価を思いつけるかが鍵となる。 (2)では、各周期に解がいくつあるかを正確に把握することが重要である。最初の区間 $(0, 2\pi)$ には解が1つしかなく、それ以降の区間には2つずつ解が存在するという事実に気づくためには、導関数と凹凸まで丁寧に調べる必要がある。ガウス記号（床関数）を用いると、偶奇による場合分けを統一的に表現でき、評価の見通しが良くなる。