東京工業大学 2021年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) は、直線の方程式を楕円の方程式に代入し、$x$ についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件を判別式から求める。 (2) は、(1) で得た2次方程式の解の公式（または解と係数の関係）を用いて、直線の傾きと交点の $x$ 座標の差からベクトルの成分を表す。 (3) は、(2) の誘導を利用する。正方形の対向する2辺に着目すると、それらは平行かつ長さが等しいため、(2) の等式 $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$ が成り立つ。このとき対角線の交点が原点になることを利用し、対角線が直交して長さが等しいという正方形の性質を数式に落とし込む。

解法1

(1)

直線 $l: y = ax + b$ と楕円 $E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ の方程式から $y$ を消去する。

$$ \frac{x^2}{4} + (ax + b)^2 = 1 $$

両辺を4倍して展開・整理すると、以下の $x$ についての2次方程式を得る。

$$ (1 + 4a^2)x^2 + 8abx + 4b^2 - 4 = 0 $$

直線 $l$ と楕円 $E$ が異なる2点を共有するための条件は、この2次方程式が異なる2つの実数解をもつことである。 判別式を $D$ とすると、$\frac{D}{4} > 0$ であればよい。

$$ \begin{aligned} \frac{D}{4} &= (4ab)^2 - (1 + 4a^2)(4b^2 - 4) \\ &= 16a^2b^2 - (4b^2 - 4 + 16a^2b^2 - 16a^2) \\ &= 16a^2 - 4b^2 + 4 \end{aligned} $$

したがって、求める条件は以下の通りである。

$$ 4a^2 - b^2 + 1 > 0 $$

(2)

直線 $l$ と楕円 $E$ の共有点の $x$ 座標は、(1) の2次方程式の解である。 解の公式より、

$$ x = \frac{-4ab \pm \sqrt{16a^2 - 4b^2 + 4}}{1 + 4a^2} = \frac{-4ab \pm 2\sqrt{4a^2 - b^2 + 1}}{1 + 4a^2} $$

$P, Q$ は直線 $l$ 上にあり、$x$ 座標の大小が $x_P < x_Q$ であるから、

$$ x_Q - x_P = \frac{4\sqrt{4a^2 - b^2 + 1}}{1 + 4a^2} $$

ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ の成分は、直線の傾きが $a$ であることから $(x_Q - x_P, a(x_Q - x_P))$ と表せる。 同様に、直線 $m: y = ax + c$ と楕円 $E$ の共有点 $S, R$ ($x_S < x_R$) についても、

$$ x_R - x_S = \frac{4\sqrt{4a^2 - c^2 + 1}}{1 + 4a^2} $$

であり、$\overrightarrow{SR} = (x_R - x_S, a(x_R - x_S))$ と表せる。 ここで、$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$ が成り立つ条件は、$x$ 成分が等しくなることであるから、

$$ \frac{4\sqrt{4a^2 - b^2 + 1}}{1 + 4a^2} = \frac{4\sqrt{4a^2 - c^2 + 1}}{1 + 4a^2} $$

$$ \sqrt{4a^2 - b^2 + 1} = \sqrt{4a^2 - c^2 + 1} $$

両辺を2乗して整理すると、

$$ 4a^2 - b^2 + 1 = 4a^2 - c^2 + 1 $$

$$ b^2 = c^2 $$

これより $b = \pm c$ を得るが、$b > c$ という条件があるため、$b = -c$ かつ $b > 0$ となる。 さらに、直線 $m$ も楕円 $E$ と異なる2点をもつ必要があるが、$c = -b$ のとき $4a^2 - c^2 + 1 = 4a^2 - b^2 + 1 > 0$ となり、(1) の条件と同じになる。 したがって、求める条件は以下の通りである。

$$ c = -b \quad \text{かつ} \quad b > 0 \quad \text{かつ} \quad 4a^2 - b^2 + 1 > 0 $$

(3)

正方形の4頂点が楕円上にあるとする。各辺が座標軸に平行な場合と、そうでない場合とに分けて考える。

(i) 正方形の辺が座標軸に平行な場合

対称性から、4頂点は $(\pm k, \pm k)$ ($k > 0$) とおける。これが楕円 $E$ 上にあるから、

$$ \frac{k^2}{4} + k^2 = 1 $$

$$ \frac{5}{4}k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{4}{5} \implies k = \frac{2}{\sqrt{5}} $$

よって、4点の組として $\left( \pm \frac{2}{\sqrt{5}}, \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ （複号任意）が得られる。

(ii) 正方形の辺が座標軸に平行でない場合

正方形の向かい合う2辺を含む直線を $l, m$ とし、それらと楕円の交点からなる4頂点を、直線 $l$ 上の $P, Q$ ($x_P < x_Q$)、直線 $m$ 上の $S, R$ ($x_S < x_R$) とする。 $l, m$ は $y$ 軸に平行ではないため、$l: y = ax + b, m: y = ax + c$ とおくことができる。 正方形の頂点の配置において、同一直線上にある $P, Q$ および $S, R$ はそれぞれ隣り合う頂点となる。 したがって、四角形 $PQRS$ は辺 $PQ$ と $SR$ を向かい合う辺にもつ平行四辺形であり、$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$ （または $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}$ ）が成り立つ。 ここで、記号の付け替えにより $b > c$ および $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$ が成り立つとして一般性を失わない。 (2) の結果より、$c = -b$ かつ $b > 0$ であり、直線 $l$ と $m$ は原点対称となる。 楕円 $E$ も原点対称であるため、交点 $P, Q$ と交点 $R, S$ はそれぞれ原点対称となり、$P$ と $R$、$Q$ と $S$ が原点対称のペアになる。 すなわち、四角形 $PQRS$ の対角線の交点は原点 $O$ である。 平行四辺形 $PQRS$ が正方形になるための条件は、対角線 $PR$ と $QS$ が直交し、かつ長さが等しいことである。これは、原点を基準とすると以下の2式で表される。

$$ \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0 $$

$$ |\overrightarrow{OP}|^2 = |\overrightarrow{OQ}|^2 $$

$P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ とおくと、$x_1, x_2$ は (1) の方程式 $(1 + 4a^2)x^2 + 8abx + 4b^2 - 4 = 0$ の解である。 解と係数の関係より、

$$ x_1 + x_2 = -\frac{8ab}{1 + 4a^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{4b^2 - 4}{1 + 4a^2} $$

$|\overrightarrow{OP}|^2 = |\overrightarrow{OQ}|^2$ より、

$$ x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 $$

$y_1 = ax_1 + b, y_2 = ax_2 + b$ を代入して整理する。

$$ x_1^2 + (ax_1 + b)^2 = x_2^2 + (ax_2 + b)^2 $$

$$ (1 + a^2)(x_1^2 - x_2^2) + 2ab(x_1 - x_2) = 0 $$

$x_1 \neq x_2$ であるから、両辺を $x_1 - x_2$ で割る。

$$ (1 + a^2)(x_1 + x_2) + 2ab = 0 $$

解と係数の関係を代入する。

$$ (1 + a^2) \left( -\frac{8ab}{1 + 4a^2} \right) + 2ab = 0 $$

両辺に $1 + 4a^2$ を掛け、 $2ab$ でくくる。

$$ 2ab \{ -4(1 + a^2) + (1 + 4a^2) \} = 0 $$

$$ 2ab (-3) = 0 \implies -6ab = 0 $$

$b > 0$ であるから、$a = 0$ を得る。 このとき、$y_1 = y_2 = b$ となる。 次に直交条件 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0$ を考える。

$$ x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 $$

$a = 0$ を代入すると、

$$ (4b^2 - 4) + b^2 = 0 $$

$$ 5b^2 = 4 \implies b = \frac{2}{\sqrt{5}} \quad (\because b > 0) $$

この $a = 0, b = \frac{2}{\sqrt{5}}$ は、条件 $4a^2 - b^2 + 1 > 0$ を満たす。 $a = 0$ であるから、直線 $l, m$ は $x$ 軸に平行な直線 $y = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$ となる。 これは （i） で求めた「辺が座標軸に平行な場合」に他ならず、その4点は $\left( \pm \frac{2}{\sqrt{5}}, \pm \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ となる。

以上より、条件を満たす4点の組は1組のみである。

解説

(2)のベクトル方程式 $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$ は、四角形 $PQRS$ が平行四辺形になるための条件を示唆している。この誘導に乗ることで、(3)では正方形の条件を「対角線の直交・等長」または「隣り合う辺の直交・等長」というベクトル内積や長さの式にスムーズに帰着できる。 また、「楕円とそれに内接する平行四辺形の中心は一致する」という幾何学的な事実を知っていると、(3)で中心が原点になることの確信を持って立式を進めることができる。

答え

(1)

$$ 4a^2 - b^2 + 1 > 0 $$

(2)

$$ c = -b \quad \text{かつ} \quad b > 0 \quad \text{かつ} \quad 4a^2 - b^2 + 1 > 0 $$

(3)

$$ \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right), \left( -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right), \left( -\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right), \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) $$