東京大学 2006年 文系 第1問 解説

方針・初手

四角形が円に内接していることと外接円の半径が与えられていることから、正弦定理と余弦定理を組み合わせて対角線の長さと角の大きさを求める。 周の長さの条件から2辺の長さの和が求まるため、余弦定理を用いて積を導き、解と係数の関係から2辺の長さを決定する。

解法1

$AB = x, DA = y$ とおく。 四角形 $ABCD$ の周の長さが 44 であり、$BC = 13, CD = 13$ であるから、

$$ x + y + 13 + 13 = 44 $$

$$ x + y = 18 $$

対角線 $BD$ を引く。$\triangle BCD$ は外接円の半径 $R = \frac{65}{8}$ の円に内接しているため、正弦定理より、

$$ \frac{BD}{\sin C} = 2R = 2 \times \frac{65}{8} = \frac{65}{4} $$

$$ BD = \frac{65}{4} \sin C $$

これより、$BD^2$ は次のように表せる。

$$ BD^2 = \left( \frac{65}{4} \right)^2 \sin^2 C = \frac{4225}{16} (1 - \cos^2 C) $$

また、$\triangle BCD$ において余弦定理を用いると、

$$ BD^2 = 13^2 + 13^2 - 2 \cdot 13 \cdot 13 \cos C = 338(1 - \cos C) $$

2つの式から $BD^2$ を消去すると、

$$ \frac{4225}{16} (1 - \cos^2 C) = 338(1 - \cos C) $$

$0^\circ < C < 180^\circ$ において $\cos C = 1$ となることはないため、$1 - \cos C \neq 0$ である。両辺を $1 - \cos C$ で割ると、

$$ \frac{4225}{16} (1 + \cos C) = 338 $$

$$ 1 + \cos C = \frac{338 \times 16}{4225} = \frac{2 \times 169 \times 16}{25 \times 169} = \frac{32}{25} $$

$$ \cos C = \frac{7}{25} $$

このとき、$BD^2$ の値は、

$$ BD^2 = 338 \left( 1 - \frac{7}{25} \right) = 338 \times \frac{18}{25} = \frac{6084}{25} $$

次に、$\triangle ABD$ において考える。 四角形 $ABCD$ は円に内接するため、$A + C = 180^\circ$ であり、

$$ \cos A = \cos(180^\circ - C) = -\cos C = -\frac{7}{25} $$

$\triangle ABD$ において余弦定理を用いると、

$$ BD^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos A $$

$$ \frac{6084}{25} = x^2 + y^2 - 2xy \left( -\frac{7}{25} \right) $$

$$ \frac{6084}{25} = (x + y)^2 - 2xy + \frac{14}{25}xy $$

$x + y = 18$ を代入して整理する。

$$ \frac{6084}{25} = 18^2 - \frac{36}{25}xy $$

$$ \frac{6084}{25} = 324 - \frac{36}{25}xy $$

両辺に 25 を掛けると、

$$ 6084 = 8100 - 36xy $$

$$ 36xy = 2016 $$

$$ xy = 56 $$

以上より、$x+y=18$ および $xy=56$ を満たす $x, y$ は、2次方程式 $t^2 - 18t + 56 = 0$ の2つの解である。

$$ (t - 4)(t - 14) = 0 $$

$$ t = 4, 14 $$

したがって、$(x, y) = (4, 14), (14, 4)$ となる。

解法2

外接円の中心を $O$ とする。 $\triangle OBC$ と $\triangle ODC$ は、$OB=OC=OD=\frac{65}{8}$、$BC=CD=13$ より、3組の辺がそれぞれ等しいから合同である。 $\angle BOC = \angle DOC = \theta$ とおく。 $\triangle OBC$ において余弦定理を用いると、

$$ 13^2 = \left(\frac{65}{8}\right)^2 + \left(\frac{65}{8}\right)^2 - 2 \left(\frac{65}{8}\right) \left(\frac{65}{8}\right) \cos \theta $$

$$ 169 = 2 \cdot \frac{4225}{64} (1 - \cos \theta) $$

$$ 169 = \frac{4225}{32} (1 - \cos \theta) $$

$$ 1 - \cos \theta = \frac{169 \times 32}{4225} = \frac{32}{25} $$

$$ \cos \theta = -\frac{7}{25} $$

$\cos \theta < 0$ より $90^\circ < \theta < 180^\circ$ であるから、点 $O$ は弦 $BD$ に関して点 $C$ と同じ側にある。 弧 $BAD$ に対する中心角は $360^\circ - 2\theta$ であるため、円周角の定理より、

$$ C = \frac{360^\circ - 2\theta}{2} = 180^\circ - \theta $$

よって、円に内接する四角形の性質より、

$$ A = 180^\circ - C = \theta $$

$$ \cos A = \cos \theta = -\frac{7}{25} $$

また、$\triangle OBD$ において、$\angle BOD = 360^\circ - 2\theta$ であるから、余弦定理より、

$$ BD^2 = \left(\frac{65}{8}\right)^2 + \left(\frac{65}{8}\right)^2 - 2 \left(\frac{65}{8}\right)^2 \cos(360^\circ - 2\theta) $$

$$ BD^2 = 2 \cdot \frac{4225}{64} (1 - \cos 2\theta) $$

半角の公式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ より $1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta = 2(1 - \cos^2 \theta)$ であるから、

$$ BD^2 = 2 \cdot \frac{4225}{64} \cdot 2 \left(1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2\right) = \frac{4225}{16} \cdot \frac{576}{625} = \frac{6084}{25} $$

これ以降は解法1と同様に、$\triangle ABD$ での余弦定理から $AB$ と $DA$ の長さの積を求め、和との連立方程式を解く。

解説

円に内接する四角形における「対角の和が $180^\circ$」という性質と、対角線を共通の辺とする2つの三角形への正弦定理・余弦定理の適用は、図形と計量の分野における頻出の定石である。 本問では外接円の半径が与えられているため、これを利用して一方の三角形から角の情報を引き出すことがポイントとなる。計算の過程で出てくる大きな数は、$169 (=13^2)$ などで約分できることを意識すると見通しが良くなる。

答え

4 と 14