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東京大学 2006年文系第2問解説

方針・初手

本問は、「直前の記号と同じ記号が出る確率が $p$」というルールに従って記号を生成する操作の確率を求める問題である。記号が変わる確率は $1-p$ となる。

終了条件は「$\times$ が3個出る」または「$\bigcirc$ が $n$ 個出る」ことである。求める確率 $P_n$ は、「$\times$ が3個出るよりも前に、$\bigcirc$ が $n$ 個出る」確率である。最初から $\times$ が1個表示されているため、$\bigcirc$ が $n$ 個出るまでに許容される新たな $\times$ の出現回数は 0回または1回 となる。

最後は必ず $\bigcirc$ で終わる（$\bigcirc$ が $n$ 個出た段階で操作が終了するため）ことに注意し、記号の並び方のパターンで場合分けして確率を直接計算する。

解法1

記号の列において、直前と同じ記号が続く回数と、異なる記号に変わる回数に着目する。

(1)

初期状態の $\times$ の後に $\bigcirc$ が2個出るまでに、新たな $\times$ が出る回数は0回または1回である。終了時は必ず $\bigcirc$ であるため、条件を満たす記号の並び方は以下の3つの排反な事象に分けられる。

(i) 新たな $\times$ が0回の場合

並びは $\times \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc$ 推移は、異なる（$\times \to \bigcirc$）、同じ（$\bigcirc \to \bigcirc$）の順なので、その確率は、

$$ (1-p)p $$

(ii) 新たな $\times$ が1回の場合

$\bigcirc$ は2個で終了するため、最後は $\bigcirc$ である。並び方は次の2通りがある。・ $\times \rightarrow \times \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc$ 推移は、同じ、異なる、同じ。確率は、

$$ p(1-p)p = p^2(1-p) $$

・ $\times \rightarrow \bigcirc \rightarrow \times \rightarrow \bigcirc$ 推移は、異なる、異なる、異なる。確率は、

$$ (1-p)(1-p)(1-p) = (1-p)^3 $$

以上より、求める確率 $P_2$ はこれらの和であるから、

$$ P_2 = p(1-p) + p^2(1-p) + (1-p)^3 $$

$$ = (1-p) \{ p + p^2 + (1-p)^2 \} $$

$$ = (1-p)(2p^2 - p + 1) $$

(2)

（1）と同様に、初期状態の $\times$ の後に $\bigcirc$ が3個出るまでの記号の並び方を考える。

(i) 新たな $\times$ が0回の場合

並びは $\times \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc$ 確率は、

$$ (1-p)p^2 $$

(ii) 新たな $\times$ が1回の場合

最後は $\bigcirc$ であるため、新たな $\times$ の位置により以下の3通りがある。・ $\times \rightarrow \times \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc$ 確率は、

$$ p \cdot (1-p) \cdot p^2 = p^3(1-p) $$

・ $\times \rightarrow \bigcirc \rightarrow \times \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc$ 確率は、

$$ (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot p = p(1-p)^3 $$

・ $\times \rightarrow \bigcirc \rightarrow \bigcirc \rightarrow \times \rightarrow \bigcirc$ 確率は、

$$ (1-p) \cdot p \cdot (1-p) \cdot (1-p) = p(1-p)^3 $$

以上より、求める確率 $P_3$ はこれらの和であるから、

$$ P_3 = (1-p)p^2 + p^3(1-p) + 2p(1-p)^3 $$

$$ = p(1-p) \{ p + p^2 + 2(1-p)^2 \} $$

$$ = p(1-p)(3p^2 - 3p + 2) $$

(3)

$n \geqq 4$ の場合も同様に一般化して考える。

(i) 新たな $\times$ が0回の場合

並びは $\times \rightarrow \underbrace{\bigcirc \rightarrow \cdots \rightarrow \bigcirc}_{n \text{個}}$ 推移は最初に記号が変わり、その後 $n-1$ 回は同じ記号が続くため、確率は、

$$ (1-p)p^{n-1} $$

(ii) 新たな $\times$ が1回の場合

列の最後は $\bigcirc$ であり、$\bigcirc$ は合計 $n$ 個ある。新たな $\times$ が出る位置で場合分けする。

(ア) 新たな $\times$ が最初に出る場合

並びは $\times \rightarrow \times \rightarrow \underbrace{\bigcirc \rightarrow \cdots \rightarrow \bigcirc}_{n \text{個}}$ 確率は、

$$ p \cdot (1-p) \cdot p^{n-1} = p^n(1-p) $$

(イ) 新たな $\times$ が途中で出る場合

最初の $\times$ の後、$\bigcirc$ が $k$ 個 ($1 \leqq k \leqq n-1$) 出たあとに $\times$ が1個出て、その後に残りの $\bigcirc$ が $n-k$ 個出る場合である。並びは $\times \rightarrow \underbrace{\bigcirc \rightarrow \cdots \rightarrow \bigcirc}_{k \text{個}} \rightarrow \times \rightarrow \underbrace{\bigcirc \rightarrow \cdots \rightarrow \bigcirc}_{n-k \text{個}}$ 記号が変わる推移は $\times \to \bigcirc$, $\bigcirc \to \times$, $\times \to \bigcirc$ の合計3回であり、それ以外の $(k-1) + (n-k-1) = n-2$ 回は同じ記号が続く。よって、ある $k$ に対する確率は $(1-p)^3 p^{n-2}$ であり、$k$ に依存しない。 $k$ の選び方は $1, 2, \dots, n-1$ の $n-1$ 通りあるため、このパターンの確率は、

$$ (n-1)(1-p)^3 p^{n-2} $$

以上より、求める確率 $P_n$ は、

$$ P_n = (1-p)p^{n-1} + p^n(1-p) + (n-1)(1-p)^3 p^{n-2} $$

これを $(1-p)p^{n-2}$ でくくって整理する。

$$ P_n = (1-p)p^{n-2} \{ p + p^2 + (n-1)(1-p)^2 \} $$

$$ = (1-p)p^{n-2} \{ p + p^2 + (n-1)(1 - 2p + p^2) \} $$

$$ = (1-p)p^{n-2} \{ p + p^2 + n - 2np + np^2 - 1 + 2p - p^2 \} $$

$$ = (1-p)p^{n-2} \{ np^2 - (2n-3)p + n - 1 \} $$

解法2

状態遷移に着目し、漸化式を用いて $P_n$ を求める。

$\bigcirc$ が $i$ 個、新たな $\times$ が $j$ 個出た状態のうち、最後に出た記号が $S \in \{\bigcirc, \times\}$ である事象の確率を $P(i, j, S)$ とおく。初期状態は $P(0, 0, \times) = 1$ である。求める確率 $P_n$ は、$P_n = P(n, 0, \bigcirc) + P(n, 1, \bigcirc)$ である。

まず、$P(i, 0, \bigcirc)$ を求める。 $i \geqq 2$ のとき、$P(i, 0, \bigcirc) = P(i-1, 0, \bigcirc) \times p$ が成り立つ。 $P(1, 0, \bigcirc) = P(0, 0, \times) \times (1-p) = 1-p$ より、

$$ P(i, 0, \bigcirc) = (1-p)p^{i-1} $$

次に、$P(i, 1, \bigcirc)$ についての漸化式を立てる。最後が $\bigcirc$ になる直前の状態は、「最後が $\times$ である」か「最後が $\bigcirc$ である」かのいずれかであるため、$i \geqq 2$ に対して、

$$ P(i, 1, \bigcirc) = (1-p)P(i-1, 1, \times) + p P(i-1, 1, \bigcirc) $$

ここで、$P(i-1, 1, \times)$ は、新たな $\times$ が1個で最後が $\times$ である確率であり、これは $\bigcirc$ が $i-1$ 個続いたあとに $\times$ に変わる場合に限られるため、

$$ P(i-1, 1, \times) = P(i-1, 0, \bigcirc) \times (1-p) = (1-p)^2 p^{i-2} $$

これを代入すると、

$$ P(i, 1, \bigcirc) = p P(i-1, 1, \bigcirc) + (1-p)^3 p^{i-2} $$

両辺を $p^i$ で割ると、

$$ \frac{P(i, 1, \bigcirc)}{p^i} - \frac{P(i-1, 1, \bigcirc)}{p^{i-1}} = \frac{(1-p)^3}{p^2} $$

よって、数列 $\left\{ \frac{P(i, 1, \bigcirc)}{p^i} \right\}$ は公差 $\frac{(1-p)^3}{p^2}$ の等差数列である。初項について、$i=1$ のときは $\times \rightarrow \times \rightarrow \bigcirc$ の順に出た場合のみであるため、$P(1, 1, \bigcirc) = p(1-p)$ であり、

$$ \frac{P(1, 1, \bigcirc)}{p} = 1-p $$

したがって、一般項は、

$$ \frac{P(n, 1, \bigcirc)}{p^n} = (1-p) + (n-1) \frac{(1-p)^3}{p^2} $$

$$ P(n, 1, \bigcirc) = p^n(1-p) + (n-1)(1-p)^3 p^{n-2} $$

ゆえに、

$$ P_n = P(n, 0, \bigcirc) + P(n, 1, \bigcirc) $$

$$ = (1-p)p^{n-1} + p^n(1-p) + (n-1)(1-p)^3 p^{n-2} $$

これを整理することで解法1と同じ結果を得る。