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東京大学 1961年理系第4問解説

方針・初手

三角形の面積比を求める問題では、基準となる三角形の面積を $S$ とおき、線分比を用いて部分の面積を順次求めていく手法が定石である。

本問では、交点 $P, Q, R$ の位置関係（線分比）をメネラウスの定理を用いて明らかにし、底辺の比と面積比の関係を利用して $\triangle PQR$ の面積を絞り込んでいく。

解法1

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とする。

$\triangle ALC$ と直線 $BM$ についてメネラウスの定理を用いると、

$$ \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BL} \cdot \frac{LQ}{QA} = 1 $$

条件より $CM:MA = 1:2$ であるから $AM:MC = 2:1$、$BL:LC = 1:2$ であるから $CB:BL = 3:1$ である。これらを代入して、

$$ \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{LQ}{QA} = 1 \implies \frac{QA}{LQ} = 6 $$

したがって、$AQ : QL = 6 : 1$ である。

次に、$\triangle ABL$ と直線 $CN$ についてメネラウスの定理を用いると、

$$ \frac{AN}{NB} \cdot \frac{BC}{CL} \cdot \frac{LP}{PA} = 1 $$

条件より $AN:NB = 1:2$、$BC:CL = 3:2$ であるから、

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{LP}{PA} = 1 \implies \frac{PA}{LP} = \frac{3}{4} $$

したがって、$AP : PL = 3 : 4$ である。

点 $P, Q$ はともに線分 $AL$ 上にあり、求めた比からそれぞれの長さは $AL$ を用いて次のように表せる。

$$ AP = \frac{3}{7} AL, \quad QL = \frac{1}{7} AL $$

よって、線分 $PQ$ の長さは、

$$ PQ = AL - AP - QL = AL - \frac{3}{7} AL - \frac{1}{7} AL = \frac{3}{7} AL $$

これより、$AP : PQ : QL = 3 : 3 : 1$ となる。

条件の対称性から、他の線分についても同様に、

$$ BQ : QR : RM = 3 : 3 : 1 $$

が成り立つ。

これらの比を用いて面積を求めていく。

まず、$\triangle ABL$ の面積は、底辺 $BC$ 上の比から、

$$ \triangle ABL = \frac{BL}{BC} \triangle ABC = \frac{1}{3} S $$

次に、$\triangle ABQ$ は $\triangle ABL$ と頂点 $B$ を共有し、底辺が $AL$ 上にあるため、

$$ \triangle ABQ = \frac{AQ}{AL} \triangle ABL = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} S = \frac{2}{7} S $$

さらに、$\triangle BPQ$ は $\triangle ABQ$ と頂点 $B$ を共有し、底辺が $AQ$ 上にあるため、

$$ \triangle BPQ = \frac{PQ}{AQ} \triangle ABQ = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{7} S = \frac{1}{7} S $$

最後に、$\triangle PQR$ は $\triangle BPQ$ と頂点 $P$ を共有し、底辺が直線 $BM$ 上にある。先ほど求めた比 $BQ : QR = 3 : 3 = 1 : 1$ より底辺の長さが等しいので、

$$ \triangle PQR = \triangle BPQ = \frac{1}{7} S $$

したがって、$\triangle PQR$ の面積と $\triangle ABC$ の面積の比は $1 : 7$ である。

解法2

（面積の足し引きを利用する別解）

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とする。

$\triangle ABL, \triangle BCM, \triangle CAN$ の3つの三角形の面積は、それぞれ辺の比から以下のようになる。

$$ \triangle ABL = \frac{1}{3} S, \quad \triangle BCM = \frac{1}{3} S, \quad \triangle CAN = \frac{1}{3} S $$

図形全体を見渡すと、これら3つの三角形を足し合わせた面積は、$\triangle ABC$ の面積 $S$ に対して、重なり合う部分である $\triangle BQL, \triangle CRM, \triangle APN$ が余分に（2回）足されており、中央の $\triangle PQR$ は一度も足されていない（空洞になっている）。

したがって、面積について次の等式が成り立つ。

$$ \triangle ABL + \triangle BCM + \triangle CAN = \triangle ABC + \triangle BQL + \triangle CRM + \triangle APN - \triangle PQR $$

重なり部分の一つである $\triangle BQL$ の面積を求める。

$\triangle ALC$ と直線 $BM$ にメネラウスの定理を用いることで、$AQ : QL = 6 : 1$ が得られる（導出は解法1と同様）。

$\triangle BQL$ は $\triangle ABL$ と頂点 $B$ を共有し、底辺が $AL$ 上にあるので、

$$ \triangle BQL = \frac{QL}{AL} \triangle ABL = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3} S = \frac{1}{21} S $$

図形の対称性から、他の重なり部分の面積も同様に、

$$ \triangle CRM = \frac{1}{21} S, \quad \triangle APN = \frac{1}{21} S $$

これらを先ほどの等式に代入すると、

$$ \frac{1}{3} S + \frac{1}{3} S + \frac{1}{3} S = S + \frac{1}{21} S + \frac{1}{21} S + \frac{1}{21} S - \triangle PQR $$

$$ S = S + \frac{3}{21} S - \triangle PQR $$

$$ \triangle PQR = \frac{1}{7} S $$