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東京大学 1961年理系第5問解説

方針・初手

媒介変数 $t$ で表された曲線の概形を把握するため、まずは曲線と $x$ 軸の交点を求める。

さらに $t$ の増減に伴う $x$ と $y$ の増減を調べて曲線の形を捉え、囲まれる領域の上下関係と積分区間を決定する。

面積を求めるための積分計算には、媒介変数 $t$ のまま置換積分として計算する方法と、$t$ を消去して $y = f(x)$ の形で積分する方法の2通りが考えられるため、両方を示す。

解法1

曲線と $x$ 軸の交点を求める。

$y = 0$ とすると、$t^2 + t - 2 = 0$ より、$(t+2)(t-1) = 0$ となり、$t = -2, 1$ である。

対応する $x$ 座標は、$t = -2$ のとき $x = (-2)^2 + 1 = 5$、$t = 1$ のとき $x = 1^2 + 1 = 2$ となる。

したがって、曲線と $x$ 軸の交点は $(2, 0)$ と $(5, 0)$ である。

次に、各変数の $t$ による微分を求める。

$$ \frac{dx}{dt} = 2t $$

$$ \frac{dy}{dt} = 2t + 1 $$

$x$ は $t=0$ のとき最小値 $1$ をとる。

$t$ が $-2 \leqq t \leqq 0$ の範囲を動くとき、$x$ は $5$ から $1$ に減少し、このとき $y = (t+2)(t-1) \leqq 0$ である。この部分の曲線を $C_1$ とし、$y = y_{C_1}(x)$ と表す。

$t$ が $0 \leqq t \leqq 1$ の範囲を動くとき、$x$ は $1$ から $2$ に増加し、このときも $y \leqq 0$ である。この部分の曲線を $C_2$ とし、$y = y_{C_2}(x)$ と表す。

同じ $x$ に対する $y$ の大小を比較する。$x = t^2 + 1$ より $y = (x-1) + t - 2 = x + t - 3$ と表せるため、同じ $x$ に対しては $t$ が大きいほど $y$ も大きくなる。

よって、$1 \leqq x \leqq 2$ の範囲において $y_{C_1}(x) \leqq y_{C_2}(x) \leqq 0$ となり、$C_2$ が上側、$C_1$ が下側にある。

また、$2 \leqq x \leqq 5$ の範囲では、上側の境界が $x$ 軸（$y=0$）、下側の境界が $C_1$ となる。

求める面積 $S$ は、これらで囲まれた部分であるから、次のように立式できる。

$$ S = \int_{1}^{2} \{ y_{C_2}(x) - y_{C_1}(x) \} dx + \int_{2}^{5} \{ 0 - y_{C_1}(x) \} dx $$

$$ S = \int_{1}^{2} y_{C_2}(x) dx - \int_{1}^{5} y_{C_1}(x) dx $$

ここで、$dx = \frac{dx}{dt} dt = 2t dt$ を用いて置換積分を行う。

$C_2$ において、$x$ が $1$ から $2$ に変化するとき、$t$ は $0$ から $1$ に変化する。

$$ \int_{1}^{2} y_{C_2}(x) dx = \int_{0}^{1} y \frac{dx}{dt} dt $$

$C_1$ において、$x$ が $1$ から $5$ に変化するとき、$t$ は $0$ から $-2$ に変化する。

$$ \int_{1}^{5} y_{C_1}(x) dx = \int_{0}^{-2} y \frac{dx}{dt} dt = - \int_{-2}^{0} y \frac{dx}{dt} dt $$

これらを面積の式に代入する。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{1} y \frac{dx}{dt} dt - \left( - \int_{-2}^{0} y \frac{dx}{dt} dt \right) \\ &= \int_{0}^{1} y \frac{dx}{dt} dt + \int_{-2}^{0} y \frac{dx}{dt} dt \\ &= \int_{-2}^{1} y \frac{dx}{dt} dt \end{aligned} $$

被積分関数を計算する。

$$ y \frac{dx}{dt} = (t^2 + t - 2)(2t) = 2t^3 + 2t^2 - 4t $$

したがって、求める面積は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{-2}^{1} (2t^3 + 2t^2 - 4t) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^4 + \frac{2}{3}t^3 - 2t^2 \right]_{-2}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 2 \right) - \left( 8 - \frac{16}{3} - 8 \right) \\ &= - \frac{5}{6} + \frac{16}{3} \\ &= \frac{27}{6} \\ &= \frac{9}{2} \end{aligned} $$

解法2

媒介変数 $t$ を消去し、$x$ と $y$ の関係式を直接求める。

$x = t^2 + 1$ より、$t^2 = x - 1$ である。実数 $t$ が存在するためには $x \geqq 1$ であり、$t = \pm\sqrt{x-1}$ となる。

これを $y = t^2 + t - 2$ に代入すると、以下の式を得る。

$$ y = (x - 1) \pm \sqrt{x-1} - 2 = x - 3 \pm \sqrt{x-1} $$

上側の曲線を $y_1 = x - 3 + \sqrt{x-1}$ （$t \geqq 0$ に対応）、下側の曲線を $y_2 = x - 3 - \sqrt{x-1}$ （$t \leqq 0$ に対応）とする。明らかに $y_1 \geqq y_2$ である。

曲線と $x$ 軸の交点を求めるため、$y = 0$ とおく。

$$ 3 - x = \pm \sqrt{x-1} $$

両辺を2乗して整理する。

$$ (3-x)^2 = x - 1 $$

$$ x^2 - 6x + 9 = x - 1 $$

$$ x^2 - 7x + 10 = 0 $$

$$ (x-2)(x-5) = 0 $$

これにより $x = 2, 5$ を得る。

元の式 $3 - x = \pm \sqrt{x-1}$ において、$x = 2$ のときは $3 - 2 = 1 > 0$ であるからプラスの符号（$y_1$）と対応し、$x = 5$ のときは $3 - 5 = -2 < 0$ であるからマイナスの符号（$y_2$）と対応する。

したがって、$x$ 軸と曲線の交点は $(2, 0)$ および $(5, 0)$ である。

これより、囲まれる領域の境界は、$1 \leqq x \leqq 2$ の範囲では $y_2 \leqq y \leqq y_1$、$2 \leqq x \leqq 5$ の範囲では $y_2 \leqq y \leqq 0$ となる。

求める面積 $S$ は、これら2つの区間の積分に分けて計算できる。

$$ \begin{aligned} S &= \int_{1}^{2} (y_1 - y_2) dx + \int_{2}^{5} (0 - y_2) dx \\ &= \int_{1}^{2} 2\sqrt{x-1} dx + \int_{2}^{5} (- x + 3 + \sqrt{x-1}) dx \end{aligned} $$

それぞれの積分を計算する。

$$ \int_{1}^{2} 2\sqrt{x-1} dx = \left[ \frac{4}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{4}{3} $$

$$ \begin{aligned} \int_{2}^{5} (- x + 3 + \sqrt{x-1}) dx &= \left[ -\frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}} \right]_{2}^{5} \\ &= \left( -\frac{25}{2} + 15 + \frac{2}{3} \cdot 8 \right) - \left( -2 + 6 + \frac{2}{3} \cdot 1 \right) \\ &= \left( \frac{5}{2} + \frac{16}{3} \right) - \left( 4 + \frac{2}{3} \right) \\ &= \frac{47}{6} - \frac{14}{3} \\ &= \frac{19}{6} \end{aligned} $$

これらを足し合わせて面積を得る。

$$ S = \frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{8}{6} + \frac{19}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} $$