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東京大学 1990年理系第6問解説

方針・初手

（1）は、$\frac{41}{333}$ を小数展開し、$a_n$ がその値以下になる条件を、小数第1位からの各桁の数字の比較（辞書式順序）に帰着させて確率を求める。

（2）は、無限回の試行の結果得られる実数を $X = \lim_{n \to \infty} a_n$ とおき、求める極限が $\lim_{n \to \infty} p_n(\alpha) = P(X \leqq \alpha)$ となることを利用する。サイコロの目には 0, 7, 8, 9 が存在しないため、$X$ のとりうる値の範囲には「隙間」ができる。小数第1位の目による場合分けから、この隙間の範囲を特定する。

解法1

(1)

$\frac{41}{333} = \frac{123}{999} = 0.123123\dots$ である。 $n$ 回目に出た目を $d_n$ （$d_n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$）とすると、$a_n = 0.d_1 d_2 \dots d_n$ である。

$\alpha = 0.123123\dots$ の小数第 $k$ 位の数字を $\alpha_k$ とおくと、$\alpha_k$ は $1, 2, 3$ の繰り返しとなる。 $a_n \leqq \alpha$ となるのは、$a_n$ と $\alpha$ を上から桁ごとに比較したとき、初めて数字が異なる桁（これを第 $k$ 位とする、$k \leqq n$）で $d_k < \alpha_k$ となるか、あるいは $n$ 桁目まで全て一致する（$1 \leqq i \leqq n$ において $d_i = \alpha_i$）場合である。

事象 $E_k$ を「$1 \leqq i \leqq k-1$ に対して $d_i = \alpha_i$ かつ $d_k < \alpha_k$」と定義する。 $a_n \leqq \alpha$ となる確率は、排反な事象の和として次のように表される。

$$ p_n(\alpha) = \sum_{k=1}^n P(E_k) + P(d_1=\alpha_1, \dots, d_n=\alpha_n) $$

$n \to \infty$ のとき、$n$ 桁目まで全て一致する確率は $\left(\frac{1}{6}\right)^n \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n(\alpha) = \sum_{k=1}^\infty P(E_k) $$

$P(E_k)$ を $k$ の周期性に従って計算する。

(i) $k = 3m+1$ ($m \geqq 0$ の整数) のとき

$\alpha_k = 1$ であるから、$d_k < 1$ を満たすサイコロの目 $d_k$ は存在しない。よって、

$$ P(E_{3m+1}) = 0 $$

(ii) $k = 3m+2$ ($m \geqq 0$ の整数) のとき

$\alpha_k = 2$ より、$d_k < 2$ つまり $d_k = 1$ となる必要がある。

$$ P(E_{3m+2}) = \left(\frac{1}{6}\right)^{3m+1} \times \frac{1}{6} = \left(\frac{1}{6}\right)^{3m+2} $$

(iii) $k = 3m+3$ ($m \geqq 0$ の整数) のとき

$\alpha_k = 3$ より、$d_k < 3$ つまり $d_k \in \{1, 2\}$ となる必要がある。

$$ P(E_{3m+3}) = \left(\frac{1}{6}\right)^{3m+2} \times \frac{2}{6} = 2 \left(\frac{1}{6}\right)^{3m+3} $$

以上より、求める極限値は、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty P(E_k) &= \sum_{m=0}^\infty \left\{ P(E_{3m+2}) + P(E_{3m+3}) \right\} \\ &= \sum_{m=0}^\infty \left\{ \left(\frac{1}{6}\right)^{3m+2} + 2 \left(\frac{1}{6}\right)^{3m+3} \right\} \\ &= \sum_{m=0}^\infty \left(\frac{1}{6}\right)^{3m} \left( \frac{1}{36} + \frac{2}{216} \right) \\ &= \frac{8}{216} \sum_{m=0}^\infty \left(\frac{1}{216}\right)^m \\ &= \frac{8}{216} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{216}} \\ &= \frac{8}{216} \times \frac{216}{215} \\ &= \frac{8}{215} \end{aligned} $$

(2)

無限回のサイコロの投擲によって定まる実数を $X = \lim_{n \to \infty} a_n = \sum_{k=1}^\infty d_k 10^{-k}$ とおく。

事象 $A_n = \{ a_n \leqq \alpha \}$ とすると、$a_n$ は単調増加であるから $A_1 \supset A_2 \supset \cdots$ が成り立つ。確率の連続性より、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n(\alpha) = \lim_{n \to \infty} P(A_n) = P\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right) $$

すべての $n$ で $a_n \leqq \alpha$ であることと、$X = \sup a_n \leqq \alpha$ であることは同値なので、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n(\alpha) = P(X \leqq \alpha) $$

となる。したがって、$P(X \leqq \alpha) = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ の範囲を求めればよい。

最初の目 $d_1$ の値によって、$X$ のとりうる範囲を考える。

(ア) $d_1 \leqq 3$ のとき

$X$ が最大となるのは $d_2 = d_3 = \cdots = 6$ のときであり、

$$ X \leqq 0.3666\dots = \frac{3}{10} + \frac{6}{90} = \frac{33}{90} = \frac{11}{30} $$

(イ) $d_1 \geqq 4$ のとき

$X$ が最小となるのは $d_2 = d_3 = \cdots = 1$ のときであり、

$$ X \geqq 0.4111\dots = \frac{4}{10} + \frac{1}{90} = \frac{37}{90} $$

これらより、区間 $\left( \frac{11}{30}, \frac{37}{90} \right)$ には $X$ は値をとらない。

ここで、$P(d_1 \leqq 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。 $\alpha = \frac{11}{30}$ のとき、事象 $\{ X \leqq \frac{11}{30} \}$ は $\{ d_1 \leqq 3 \}$ と完全に一致するため、

$$ P\left(X \leqq \frac{11}{30}\right) = \frac{1}{2} $$

また、$\alpha = \frac{37}{90}$ のとき、$X \leqq \frac{37}{90}$ となるのは、$d_1 \leqq 3$ の場合か、$d_1=4$ かつ $d_2=d_3=\cdots=1$ の場合のみである。後者の特定の無限数列が生じる確率は $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{6}\right)^n = 0$ であるから、

$$ P\left(X \leqq \frac{37}{90}\right) = P(d_1 \leqq 3) + 0 = \frac{1}{2} $$

区間 $\left( \frac{11}{30}, \frac{37}{90} \right)$ では $X$ が値をとらない（確率測度が $0$ である）ため、$\frac{11}{30} \leqq \alpha \leqq \frac{37}{90}$ の任意の $\alpha$ に対して $P(X \leqq \alpha) = \frac{1}{2}$ が成り立つ。

さらに、これ以外の範囲に $\alpha$ がある場合を検証する。

(ウ) $\alpha < \frac{11}{30}$ のとき

$X$ は $11/30$ （$=0.3666\dots$）未満のいくらでも近い値をとり得る（例：$0.366\dots6511\dots$）ため、$P\left(\alpha < X \leqq \frac{11}{30}\right) > 0$ である。したがって、$P(X \leqq \alpha) = P\left(X \leqq \frac{11}{30}\right) - P\left(\alpha < X \leqq \frac{11}{30}\right) < \frac{1}{2}$ となり不適。

(エ) $\alpha > \frac{37}{90}$ のとき

同様に、$X$ は $37/90$ （$=0.4111\dots$）より大きいいくらでも近い値をとり得るため、$P\left(\frac{37}{90} \leqq X \leqq \alpha\right) > 0$ である。したがって、$P(X \leqq \alpha) = P\left(X \leqq \frac{37}{90}\right) + P\left(\frac{37}{90} < X \leqq \alpha\right) > \frac{1}{2}$ となり不適。

以上より、求める $\alpha$ の範囲は $\frac{11}{30} \leqq \alpha \leqq \frac{37}{90}$ である。

解説

無限小数の各桁をランダムに決定する操作において、生成される実数の確率分布を考察する問題である。（1）は、各桁の数値を前から順に比較し、大小が確定する桁で場合分けを行う典型的な辞書式順序の確率計算である。無限級数の和を利用して極限値を求める。（2）は、極限として定まる確率変数 $X$ のサポート（値域）の構造に気づけるかが鍵となる。サイコロの目には 0 や 7, 8, 9 がないため、生成される実数全体にはフラクタル図形（カントール集合）のような隙間が生じる。この隙間が含まれる区間では、累積分布関数が一定値をとるという性質を利用して解き進める。