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東京大学 1994年理系第3問解説

方針・初手

問題の誘導に従い、立体を $z$ 軸に直交する平面 $z=k$ で切断し、その断面の面積 $S(k)$ を求める。断面の図形は円の一部と直線で囲まれた領域になるため、扇形の面積から三角形の面積を引くことで $S(k)$ を計算する。その後、得られた $S(k)$ を $k$ について積分して体積 $V$ を求める。積分計算では、(1) の誘導である $k = \cos \theta$ の置換積分を利用する。

解法1

(1)

与えられた条件式に $z=k$ ($0 \leqq k \leqq 1$) を代入すると、平面 $z=k$ 上における立体の断面を表す領域は、

$$ x^2 + y^2 \leqq k^2 $$

$$ k^2 \leqq x $$

の共通部分である。

$0 \leqq k \leqq 1$ より $k^2 \leqq k$ であるから、直線 $x = k^2$ は円 $x^2 + y^2 \leqq k^2$ と交点を持つ。円 $x^2 + y^2 = k^2$ と直線 $x = k^2$ の交点について考える。原点を極とする極座標で考えると、円上の点は動径が $k$ であるから、偏角を $\alpha$ ($-\frac{\pi}{2} \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$) とおくと、交点の $x$ 座標は $x = k \cos \alpha$ と表せる。これが $x = k^2$ を満たすので、

$$ k \cos \alpha = k^2 $$

$$ \cos \alpha = k $$

ここで、問題の指示通り $k = \cos \theta$ ($0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$) とおくと、$\cos \alpha = \cos \theta$ であり、$-\frac{\pi}{2} \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲では $\alpha = \pm \theta$ となる。すなわち、交点の座標は $(k \cos \theta, k \sin \theta)$ および $(k \cos \theta, -k \sin \theta)$ である。

求める断面の面積 $S(k)$ は、原点を中心とする半径 $k$、中心角 $2\theta$ の扇形から、原点 $O(0, 0)$ と2つの交点を頂点とする三角形を除いた部分の面積である。扇形の面積は、

$$ \frac{1}{2} k^2 (2\theta) = k^2 \theta = \theta \cos^2 \theta $$

三角形の面積は、直線 $x = k^2$ を底辺とみなすと、底辺の長さは $2k \sin \theta$、高さは $k^2$ であるから、

$$ \frac{1}{2} \cdot 2k \sin \theta \cdot k^2 = k^3 \sin \theta = \cos^3 \theta \sin \theta $$

ゆえに、断面の面積 $S(k)$ はこれらの差となるため、

$$ S(k) = \theta \cos^2 \theta - \cos^3 \theta \sin \theta $$

(2)

立体の体積 $V$ は、$S(k)$ を $k$ について $0$ から $1$ まで積分したものである。

$$ V = \int_0^1 S(k) dk $$

$k = \cos \theta$ とおいて置換積分する。

$$ \frac{dk}{d\theta} = -\sin \theta \implies dk = -\sin \theta d\theta $$

$k$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ は $\frac{\pi}{2}$ から $0$ まで変化する。よって、

$$ V = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 S(\cos \theta) (-\sin \theta) d\theta $$

$$ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} S(\cos \theta) \sin \theta d\theta $$

(1) の結果を代入すると、

$$ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\theta \cos^2 \theta - \cos^3 \theta \sin \theta) \sin \theta d\theta $$

$$ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \cos^2 \theta \sin \theta d\theta - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \sin^2 \theta d\theta $$

ここで、第1項を $I_1$、第2項を $I_2$ とおく。

$I_1$ について、$(-\frac{1}{3}\cos^3 \theta)' = \cos^2 \theta \sin \theta$ であることに着目して部分積分を用いると、

$$ I_1 = \left[ \theta \left( -\frac{1}{3}\cos^3 \theta \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot \left( -\frac{1}{3}\cos^3 \theta \right) d\theta $$

$$ = 0 + \frac{1}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta d\theta $$

$$ = \frac{1}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 \theta) \cos \theta d\theta $$

$$ = \frac{1}{3} \left[ \sin \theta - \frac{1}{3} \sin^3 \theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} $$

$$ = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{9} $$

次に $I_2$ について計算すると、

$$ I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 \theta) \sin^2 \theta \cos \theta d\theta $$

$$ = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 \theta \cos \theta - \sin^4 \theta \cos \theta) d\theta $$

$$ = \left[ \frac{1}{3}\sin^3 \theta - \frac{1}{5}\sin^5 \theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} $$

$$ = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15} $$

したがって、求める体積 $V$ は、

$$ V = I_1 - I_2 = \frac{2}{9} - \frac{2}{15} = \frac{10}{45} - \frac{6}{45} = \frac{4}{45} $$

解説

空間図形の体積を求める典型的な問題である。指定された平面で切断し、断面積を求めて積分するという誘導に素直に乗るのが最適である。 (1) では、交点の座標を直接 $x, y$ の式で求めてから計算することも可能だが、$k=\cos\theta$ という設定から極座標的な発想（扇形の中心角が $\theta$ を用いて簡潔に表せること）に気づけると、煩雑な積分を回避して図形的に面積を求めることができる。 (2) の定積分では、三角関数の積分における定石である「部分積分」や「$(\sin x)^n \cos x$ の形を作って積分する」といった処理を正確に実行する計算力が問われる。