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東京大学 1998年理系第6問解説

方針・初手

空間図形の体積を求める基本方針に従い、$z$ 軸に垂直な平面 $z=t$ で立体を切断し、その断面積を $t$ について積分する。四角錐の断面は正方形になるため、その正方形のうち円柱 $x^2+y^2 \geqq 1$ の外部にある領域の面積を計算する。その際、切断面の高さによって正方形が円柱の内部に完全に含まれる場合があるため、場合分けが必要になることに注意する。

解法1

四角錐 $PABCD$ を平面 $z=t$ ($0 \leqq t \leqq 3$) で切断した断面を考える。底面 $ABCD$ は $xy$ 平面 ($z=0$) 上にあり、頂点 $A(1, 1, 0), B(-1, 1, 0), C(-1, -1, 0), D(1, -1, 0)$ を持つ1辺の長さが $2$ の正方形である。頂点 $P(0, 0, 3)$ と底面との距離は $3$ であるから、平面 $z=t$ による四角錐の断面は、相似比 $\frac{3-t}{3}$ より、1辺の長さが $2(1-\frac{t}{3})$ の正方形となる。ここで、$l = 1 - \frac{t}{3}$ とおくと、$t$ が $0 \leqq t \leqq 3$ を動くとき、$l$ は $1 \geqq l \geqq 0$ の範囲を動く。このとき、平面 $z=t$ における断面の正方形の領域 $D_l$ は次のように表される。

$$ D_l : |x| \leqq l, \quad |y| \leqq l $$

求める立体は、四角錐のうち $x^2 + y^2 \geqq 1$ を満たす部分である。したがって、平面 $z=t$ における断面積 $S(t)$ は、正方形 $D_l$ のうち円 $C: x^2 + y^2 \leqq 1$ の外部（境界含む）にある部分の面積である。これを $l$ の関数とみて $S(l)$ と表す。

(i) $l \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき 正方形 $D_l$ の原点から最も遠い点は頂点 $(\pm l, \pm l)$ であり、その距離は $\sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2}l$ である。 $\sqrt{2}l \leqq 1$ であるから、正方形 $D_l$ は完全に円 $C$ の内部に含まれる。したがって、円の外部にある面積は $0$ であり、$S(l) = 0$ となる。

(ii) $\frac{1}{\sqrt{2}} < l \leqq 1$ のとき 正方形 $D_l$ の一部が円 $C$ の外部にはみ出す。対称性より、第1象限（$x \geqq 0, y \geqq 0$）における面積を求め、それを4倍すればよい。第1象限において、正方形の辺 $x=l$ と円弧 $x^2+y^2=1$ の交点を $E$ とすると、$E(l, \sqrt{1-l^2})$ である。同様に、辺 $y=l$ と円弧の交点を $F$ とすると、$F(\sqrt{1-l^2}, l)$ である。原点を $O$ とし、動径 $OE$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とおくと、

$$ \cos\theta = l, \quad \sin\theta = \sqrt{1-l^2} \quad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{4}\right) $$

と表せる。対称性から、動径 $OF$ が $x$ 軸の正の向きとなす角は $\frac{\pi}{2} - \theta$ である。第1象限において、正方形 $D_l$ と円 $C$ の共通部分の面積は、2つの直角三角形と1つの扇形の面積の和として計算できる。扇形 $OEF$ の中心角は $\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) - \theta = \frac{\pi}{2} - 2\theta$ であるから、その面積は

$$ \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - 2\theta\right) = \frac{\pi}{4} - \theta $$

となる。また、2つの直角三角形の面積の和は

$$ 2 \times \left( \frac{1}{2} \cdot l \cdot \sqrt{1-l^2} \right) = l\sqrt{1-l^2} = \cos\theta\sin\theta $$

である。したがって、第1象限において正方形 $D_l$ が円 $C$ の外部にある面積は、第1象限の正方形の面積 $l^2$ から共通部分の面積を引いて

$$ l^2 - \left(\cos\theta\sin\theta + \frac{\pi}{4} - \theta\right) = \cos^2\theta - \cos\theta\sin\theta - \frac{\pi}{4} + \theta $$

となる。よって、断面積 $S(l)$ はこれを4倍して

$$ S(l) = 4\cos^2\theta - 4\cos\theta\sin\theta - \pi + 4\theta $$

となる。

以上より、求める体積 $V$ は $S(t)$ を $t$ について $0$ から $3$ まで積分すれば求まる。 $t = 3(1-l)$ より $dt = -3dl$ であり、$t$ が $0$ から $3$ まで変化するとき、$l$ は $1$ から $0$ まで変化する。 $S(l) \neq 0$ となるのは $\frac{1}{\sqrt{2}} < l \leqq 1$ の範囲であるから、

$$ V = \int_{0}^{3} S(t) \, dt = \int_{1}^{1/\sqrt{2}} S(l) (-3) \, dl = 3 \int_{1/\sqrt{2}}^{1} S(l) \, dl $$

ここで、$l = \cos\theta$ と置換積分する。 $dl = -\sin\theta \, d\theta$ であり、$l$ が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ は $\frac{\pi}{4}$ から $0$ まで変化する。

$$ \begin{aligned} V &= 3 \int_{\pi/4}^{0} (4\cos^2\theta - 4\cos\theta\sin\theta - \pi + 4\theta) (-\sin\theta) \, d\theta \\ &= 3 \int_{0}^{\pi/4} (4\cos^2\theta\sin\theta - 4\cos\theta\sin^2\theta - \pi\sin\theta + 4\theta\sin\theta) \, d\theta \end{aligned} $$

それぞれの項の定積分を計算する。

$$ \int_{0}^{\pi/4} 4\cos^2\theta\sin\theta \, d\theta = \left[ -\frac{4}{3}\cos^3\theta \right]_{0}^{\pi/4} = -\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}} - 1\right) = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} $$

$$ \int_{0}^{\pi/4} -4\cos\theta\sin^2\theta \, d\theta = \left[ -\frac{4}{3}\sin^3\theta \right]_{0}^{\pi/4} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3} $$

$$ \int_{0}^{\pi/4} -\pi\sin\theta \, d\theta = \pi \left[ \cos\theta \right]_{0}^{\pi/4} = \pi\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1\right) = \frac{\pi}{\sqrt{2}} - \pi $$

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} 4\theta\sin\theta \, d\theta &= 4 \left[ -\theta\cos\theta \right]_{0}^{\pi/4} - 4\int_{0}^{\pi/4} (-\cos\theta) \, d\theta \\ &= 4\left(-\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 0\right) + 4\left[ \sin\theta \right]_{0}^{\pi/4} \\ &= -\frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{4}{\sqrt{2}} = -\frac{\pi}{\sqrt{2}} + 2\sqrt{2} \end{aligned} $$

これらをすべて足し合わせる。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} S(l)\sin\theta \, d\theta &= \left(\frac{4}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}\right) - \frac{\sqrt{2}}{3} + \left(\frac{\pi}{\sqrt{2}} - \pi\right) + \left(-\frac{\pi}{\sqrt{2}} + 2\sqrt{2}\right) \\ &= \frac{4}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3} - \pi + 2\sqrt{2} \\ &= \frac{4}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \pi \end{aligned} $$

最後に $3$ を掛けて体積 $V$ を得る。

$$ V = 3 \left( \frac{4+4\sqrt{2}}{3} - \pi \right) = 4 + 4\sqrt{2} - 3\pi $$

解説

空間図形の体積を求める定石通り、座標軸に垂直な平面による切断面の面積を積分する問題である。円柱の中心軸と四角錐の高さの方向が一致しているため、$z$ 軸に垂直な平面で切るのが最も見通しが良い。本問の最大のポイントは、高さ $z=t$ によって断面積の計算式が変わること（場合分け）に気づけるかどうかである。頂点付近では四角錐の断面が円柱の内部に完全に収まってしまうため、外部の面積はゼロになる。また、断面積を立式した後の積分計算において、無理関数を含む積分をそのまま実行するよりも、三角関数による置換積分（極座標的な変数変換）を用いると、計算の見通しが良くなりミスを防ぎやすい。