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東京大学 1994年理系第2問解説

方針・初手

$\theta = \frac{\pi}{5}$ などの特定の角の三角比を扱う問題である。直接 $\sin$ や $\cos$ の値を求めることもできるが、倍角・三倍角の公式を用いて $a, b$ を解にもつ二次方程式を作成すると計算がスムーズに進む。(2) は、(1) で求めた和と積の値を代入して式を整理し、数列の漸化式（対称式の性質）を利用して数学的帰納法で示す。

解法1

(1)

$\theta$ を $\theta = \frac{\pi}{5}$ または $\theta = \frac{2\pi}{5}$ とする。このとき、$5\theta = \pi$ または $5\theta = 2\pi$ であるから、いずれの場合も $\sin 5\theta = 0$ が成り立つ。

ここで、$5\theta = 3\theta + 2\theta$ より $3\theta = 5\theta - 2\theta$ であるから、

$$ \sin 3\theta = \sin(5\theta - 2\theta) $$

$5\theta = \pi$ のとき $\sin(\pi - 2\theta) = \sin 2\theta$ であり、$5\theta = 2\pi$ のとき $\sin(2\pi - 2\theta) = -\sin 2\theta$ である。したがって、いずれの場合も両辺を2乗すると次の等式が成り立つ。

$$ \sin^2 3\theta = \sin^2 2\theta $$

2倍角、3倍角の公式を用いると、

$$ (3\sin\theta - 4\sin^3\theta)^2 = (2\sin\theta\cos\theta)^2 $$

$$ \sin^2\theta (3 - 4\sin^2\theta)^2 = 4\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta) $$

$\theta = \frac{\pi}{5}, \frac{2\pi}{5}$ のとき $\sin\theta \neq 0$ であるから、両辺を $\sin^2\theta$ で割ることができる。

$$ (3 - 4\sin^2\theta)^2 = 4(1 - \sin^2\theta) $$

ここで、$x = \sin^2\theta$ とおくと、

$$ (3 - 4x)^2 = 4(1 - x) $$

$$ 16x^2 - 24x + 9 = 4 - 4x $$

$$ 16x^2 - 20x + 5 = 0 $$

$\theta = \frac{\pi}{5}$ のとき $x = a$、$\theta = \frac{2\pi}{5}$ のとき $x = b$ である。 $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < \sin\frac{\pi}{5} < \sin\frac{2\pi}{5}$ であるから、$a \neq b$ である。したがって、$a$ と $b$ は $x$ についての二次方程式 $16x^2 - 20x + 5 = 0$ の異なる2つの解である。

解と係数の関係より、

$$ a+b = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} $$

$$ ab = \frac{5}{16} $$

$\frac{5}{4}$ と $\frac{5}{16}$ は有理数であるから、$a+b$ および $ab$ は有理数であることが示された。

(2)

与えられた式を変形する。

$$ \begin{aligned} (a^{-n} + b^{-n})(a+b)^n &= \left(\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n}\right)(a+b)^n \\ &= \frac{a^n+b^n}{(ab)^n} (a+b)^n \\ &= (a^n+b^n) \left(\frac{a+b}{ab}\right)^n \end{aligned} $$

(1) の結果より、$\frac{a+b}{ab} = \frac{5/4}{5/16} = 4$ であるから、

$$ \begin{aligned} (a^{-n} + b^{-n})(a+b)^n &= (a^n+b^n) 4^n \\ &= (4a)^n + (4b)^n \end{aligned} $$

ここで、$A = 4a, B = 4b$ とおく。(1) より、

$$ A+B = 4(a+b) = 4 \times \frac{5}{4} = 5 $$

$$ AB = 16ab = 16 \times \frac{5}{16} = 5 $$

であるから、$A, B$ は二次方程式 $X^2 - 5X + 5 = 0$ の2つの解である。したがって、$A^2 - 5A + 5 = 0$ および $B^2 - 5B + 5 = 0$ が成り立つ。

$S_n = A^n + B^n$ とおく。任意の自然数 $k$ に対して、

$$ \begin{aligned} S_{k+2} &= A^{k+2} + B^{k+2} \\ &= A^k \cdot A^2 + B^k \cdot B^2 \\ &= A^k (5A - 5) + B^k (5B - 5) \\ &= 5(A^{k+1} + B^{k+1}) - 5(A^k + B^k) \\ &= 5S_{k+1} - 5S_k \end{aligned} $$

が成り立つ。ここで、

$S_1 = A + B = 5$ （整数）

$S_2 = A^2 + B^2 = (A+B)^2 - 2AB = 5^2 - 2 \times 5 = 15$ （整数）

である。 $S_1, S_2$ が整数であり、上の漸化式より $S_k, S_{k+1}$ が整数ならば $S_{k+2}$ も整数となる。よって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して $S_n$ は整数となる。以上より、任意の自然数 $n$ に対し $(a^{-n} + b^{-n})(a+b)^n$ は整数であることが示された。

解法2

(1) について、直接値を求める別解を示す。

$\alpha = \frac{2\pi}{5}$ とおくと、$5\alpha = 2\pi$ であるから、$3\alpha = 2\pi - 2\alpha$ が成り立つ。両辺の余弦をとると、

$$ \cos 3\alpha = \cos(2\pi - 2\alpha) = \cos 2\alpha $$

3倍角、2倍角の公式を用いると、

$$ 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $$

$$ 4\cos^3\alpha - 2\cos^2\alpha - 3\cos\alpha + 1 = 0 $$

$$ (\cos\alpha - 1)(4\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 1) = 0 $$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $0 < \cos\alpha < 1$ であるから、$\cos\alpha \neq 1$ である。したがって、$4\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 1 = 0$ が成り立つ。これを解くと、$\cos\alpha > 0$ であるから、

$$ \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{-1+\sqrt{5}}{4} $$

次に、$\cos\frac{\pi}{5}$ の値を求める。半角の公式を用いることはできないが、$\beta = \frac{4\pi}{5}$ とおくと $5\beta = 4\pi$ より $3\beta = 4\pi - 2\beta$ となり、同様にして $\cos 3\beta = \cos 2\beta$ が成り立つ。したがって、$\cos\beta$ も $4x^2 + 2x - 1 = 0$ の解である。

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より $\cos\beta < 0$ であるから、

$$ \cos\frac{4\pi}{5} = \frac{-1-\sqrt{5}}{4} $$

ここで、$\cos\frac{4\pi}{5} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{5}\right) = -\cos\frac{\pi}{5}$ であるから、

$$ \cos\frac{\pi}{5} = \frac{1+\sqrt{5}}{4} $$

以上より、$a, b$ の値は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} a &= \sin^2\frac{\pi}{5} = 1 - \cos^2\frac{\pi}{5} \\ &= 1 - \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2 \\ &= 1 - \frac{6+2\sqrt{5}}{16} \\ &= \frac{5-\sqrt{5}}{8} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} b &= \sin^2\frac{2\pi}{5} = 1 - \cos^2\frac{2\pi}{5} \\ &= 1 - \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^2 \\ &= 1 - \frac{6-2\sqrt{5}}{16} \\ &= \frac{5+\sqrt{5}}{8} \end{aligned} $$

よって、$a+b$ と $ab$ は以下のようになる。

$$ a+b = \frac{5-\sqrt{5}}{8} + \frac{5+\sqrt{5}}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} $$

$$ ab = \frac{5-\sqrt{5}}{8} \times \frac{5+\sqrt{5}}{8} = \frac{25-5}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} $$

$\frac{5}{4}, \frac{5}{16}$ はいずれも有理数であるため、題意は示された。（(2) の証明は解法1と同様）

解説

$\frac{\pi}{5}, \frac{2\pi}{5}$ といった角の三角比を求める、あるいはそれらを解にもつ方程式を作るのは、大学入試における典型的な処理である。「$5\theta = \pi, 2\pi$ から $3\theta = \pi - 2\theta$ 等を作って両辺の $\sin$ や $\cos$ をとる」という定石は確実に習得しておきたい。 (2) は、(1) で基本対称式の値が求まっていることから、与式を基本対称式のみで表し、漸化式を作って帰納法に持ち込むのが最も見通しがよい。$A^n + B^n$ 型の式が二次方程式の解を利用した漸化式 $S_{k+2} = pS_{k+1} + qS_k$ を満たす性質は頻出である。