東京大学 2018年 理系 第6問 解説

方針・初手

立体 $V_1, V_2, V_3$ は、それぞれ線分 $OA, AB, BC$ を中心軸とする半径 $r$ の円柱の両端に、半径 $r$ の半球をつけた図形である。このような図形が通過する領域の体積や共通部分を考える際は、座標軸に平行な平面で切断し、その断面図形を考察するのが定石である。 本問でも (1) の誘導に従い、平面 $y=t$ による切断面を考える。点 $X(x,y,z)$ が各立体に含まれる条件を、中心軸となる線分からの距離が $r$ 以下であることとして立式し、代数的に処理していく。

解法1

(1)

点 $X(x, y, z)$ が $V_1, V_2, V_3$ に含まれる条件は、それぞれの中心軸（線分 $OA, AB, BC$）上にある点との距離の最小値が $r$ 以下となることである。 球の中心を $P$ とすると、$P$ の座標は各線分上で以下のように表せる。

$P \in OA$ のとき、$(u, 0, 0)$ ただし $0 \le u \le 1$ $P \in AB$ のとき、$(1, v, 0)$ ただし $0 \le v \le 1$ $P \in BC$ のとき、$(1, 1, w)$ ただし $0 \le w \le 1$

したがって、$V_1, V_2, V_3$ を表す条件は以下のようになる。

$V_1$ : ある $u \ (0 \le u \le 1)$ に対し $(x-u)^2 + y^2 + z^2 \le r^2$ $V_2$ : ある $v \ (0 \le v \le 1)$ に対し $(x-1)^2 + (y-v)^2 + z^2 \le r^2$ $V_3$ : ある $w \ (0 \le w \le 1)$ に対し $(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-w)^2 \le r^2$

平面 $y=t$ と $V_1, V_3$ の共通部分（断面）をそれぞれ $D_1(t), D_3(t)$ とする。 $D_1(t)$ が空集合でない条件は、$y=t$ として得られる式 $(x-u)^2 + z^2 \le r^2 - t^2$ が実数 $(x, z)$ を満たすことであるから、

$$ r^2 - t^2 \ge 0 \iff -r \le t \le r $$

同様に、$D_3(t)$ が空集合でない条件は、$(x-1)^2 + (z-w)^2 \le r^2 - (t-1)^2$ より、

$$ r^2 - (t-1)^2 \ge 0 \iff 1-r \le t \le 1+r $$

これらが双方とも共有点をもつための $t$ の範囲は、上の2つの範囲の共通部分となる。 問題の条件より $\frac{1}{2} < r < 1$ であるから、$-r < 1-r < r < 1+r$ が成り立つ。 よって、求める $t$ の範囲は以下の通りである。

$$ 1-r \le t \le r $$

この範囲の $t$ に対し、同一平面（$xz$ 平面）上に $D_1(t)$ と $D_3(t)$ を図示することを考える。 $R_1 = \sqrt{r^2-t^2}$、$R_3 = \sqrt{r^2-(t-1)^2}$ とおく。

$D_1(t)$ は、$(x-u)^2 + z^2 \le R_1^2 \ (0 \le u \le 1)$ の和集合であり、中心が原点から $(1, 0)$ まで $x$ 軸上を動く半径 $R_1$ の円の通過領域である。 形状としては、長方形領域 $0 \le x \le 1, -R_1 \le z \le R_1$ の左端に中心 $(0, 0)$ の半円、右端に中心 $(1, 0)$ の半円を合わせた「横長の陸上トラック型」となる。

$D_3(t)$ は、$(x-1)^2 + (z-w)^2 \le R_3^2 \ (0 \le w \le 1)$ の和集合であり、中心が $(1, 0)$ から $(1, 1)$ まで直線 $x=1$ 上を動く半径 $R_3$ の円の通過領域である。 形状としては、長方形領域 $1-R_3 \le x \le 1+R_3, 0 \le z \le 1$ の下端に中心 $(1, 0)$ の半円、上端に中心 $(1, 1)$ の半円を合わせた「縦長の陸上トラック型」となる。

両者は点 $(1, 0)$ を中心とする円の付近で交差する。

(2)

$V_1$ と $V_3$ の共通部分が $V_2$ に含まれるための条件は、(1) で求めた任意の $t \ (1-r \le t \le r)$ において、$D_1(t) \cap D_3(t)$ に属するすべての点 $(x, z)$ が、平面 $y=t$ における $V_2$ の条件を満たすことである。

平面 $y=t$ における $V_2$ の条件は、ある $v \ (0 \le v \le 1)$ に対して $(x-1)^2 + (t-v)^2 + z^2 \le r^2$ となることである。 いま、$t$ は $1-r \le t \le r$ の範囲にあり、$\frac{1}{2} < r < 1$ より $0 < 1-r < t < r < 1$ を満たす。 よって $0 \le t \le 1$ であるから、$v=t$ を選ぶことができ、そのとき $(t-v)^2 = 0$ となる。 すなわち、$V_2$ に含まれるための条件は、単に点 $(1, 0)$ からの距離の2乗が $r^2$ 以下となることである。

$$ (x-1)^2 + z^2 \le r^2 $$

これが $D_1(t) \cap D_3(t)$ のすべての点で成り立つための条件を考える。 $D_1(t)$ に属する点は $-R_1 \le z \le R_1$ を満たすため、$z^2 \le R_1^2$ である。 $D_3(t)$ に属する点は $1-R_3 \le x \le 1+R_3$ を満たすため、$(x-1)^2 \le R_3^2$ である。 したがって、$D_1(t) \cap D_3(t)$ に属する任意の点 $(x, z)$ において、点 $(1, 0)$ からの距離の2乗は次のように評価できる。

$$ (x-1)^2 + z^2 \le R_3^2 + R_1^2 $$

ここで、点 $(1-R_3, R_1)$ が $D_1(t) \cap D_3(t)$ に実際に含まれるか確認する。 $R_3 \le 1$ （すなわち $r^2 - (t-1)^2 \le 1$）および $R_1 \le 1$ （すなわち $r^2 - t^2 \le 1$）は $r < 1$ より常に成り立つ。 よって、$0 \le 1-R_3 \le 1$ および $0 \le R_1 \le 1$ が成り立つため、点 $(1-R_3, R_1)$ は $D_1(t)$ に含まれる長方形領域内かつ $D_3(t)$ に含まれる長方形領域内に位置しており、確かに $D_1(t) \cap D_3(t)$ に属する。

以上より、$(x-1)^2 + z^2$ の最大値は $R_3^2 + R_1^2$ である。 この最大値がすべての $t \in [1-r, r]$ において $r^2$ 以下であればよい。

$$ \begin{aligned} R_3^2 + R_1^2 &\le r^2 \\ \{r^2 - (t-1)^2\} + (r^2 - t^2) &\le r^2 \\ 2r^2 - 2t^2 + 2t - 1 &\le r^2 \\ r^2 &\le 2t^2 - 2t + 1 \end{aligned} $$

右辺の関数を $f(t) = 2t^2 - 2t + 1 = 2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$ とおく。 条件は、区間 $1-r \le t \le r$ に属するすべての $t$ に対して $r^2 \le f(t)$ が成り立つこと、すなわち $r^2 \le (\text{区間内の } f(t) \text{ の最小値})$ となることである。 $\frac{1}{2} < r < 1$ より、区間 $1-r \le t \le r$ は $t = \frac{1}{2}$ を含む。 したがって、$f(t)$ の最小値は $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ となる。 ゆえに求める条件は $r^2 \le \frac{1}{2}$ であり、$\frac{1}{2} < r$ と合わせて以下のようになる。

$$ \frac{1}{2} < r \le \frac{\sqrt{2}}{2} $$

(3)

和集合の体積の公式（包除原理）を用いると、立体 $V = V_1 \cup V_2 \cup V_3$ の体積は以下のように表せる。

$$ |V| = |V_1| + |V_2| + |V_3| - |V_1 \cap V_2| - |V_2 \cap V_3| - |V_3 \cap V_1| + |V_1 \cap V_2 \cap V_3| $$

(2) の条件より、$V_1 \cap V_3$ は $V_2$ に含まれるため、$V_1 \cap V_2 \cap V_3 = V_1 \cap V_3$ が成り立つ。 したがって、最後の2項は相殺される。

$$ - |V_3 \cap V_1| + |V_1 \cap V_2 \cap V_3| = 0 $$

さらに、図形の対称性より以下のことが成り立つ。 各 $V_i$ は合同な図形であるため、体積は等しく $|V_1| = |V_2| = |V_3| = S$ である。 また、$V_1 \cap V_2$ と $V_2 \cap V_3$ も直角に交わる同じ長さの線分を中心軸とする図形の共通部分であるから合同であり、体積は等しく $|V_1 \cap V_2| = |V_2 \cap V_3| = T$ である。 これらを代入すると、求める体積は以下のようになる。

$$ |V| = 3S - 2T $$

(4)

まず $S$ を求める。 $V_1$ は半径 $r$、高さ $1$ の円柱の両端に半径 $r$ の半球をつけた図形であるから、その体積 $S$ は円柱と球の体積の和となる。

$$ S = \pi r^2 \cdot 1 + \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 + \frac{4}{3}\pi r^3 $$

次に $T$ を求める。 $V_1$ と $V_2$ は点 $A(1, 0, 0)$ を頂点として直角に交わる線分を中心軸としている。 点 $A$ を原点に平行移動して考えると、$V_1 \cap V_2$ は、「$x$ 軸の負の領域へ伸びる半径 $r$ の立体」と「$y$ 軸の正の領域へ伸びる半径 $r$ の立体」の共通部分となる。 $r \le \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$ より、他方の端点に付いている半球部分は共通部分に影響を与えない。 したがって、平面 $z = k \ (-r \le k \le r)$ で切断した断面を考えると、半径 $\sqrt{r^2-k^2}$ を $R$ として、以下の領域の共通部分となる。

$V_1$ の断面：$-R \le y \le R \ (x \le 0)$ および $x^2 + y^2 \le R^2 \ (x > 0)$ $V_2$ の断面：$-R \le x \le R \ (y \ge 0)$ および $x^2 + y^2 \le R^2 \ (y < 0)$

これらが重なる領域の面積 $S(k)$ は象限ごとに以下のように求められる。 第1象限（$x \ge 0, y \ge 0$）：四分円 $x^2 + y^2 \le R^2$ 第2象限（$x < 0, y \ge 0$）：正方形 $-R \le x \le 0, 0 \le y \le R$ 第3象限（$x < 0, y < 0$）：四分円 $x^2 + y^2 \le R^2$ 第4象限（$x \ge 0, y < 0$）：四分円 $x^2 + y^2 \le R^2$

面積は正方形1つと四分円3つ分の和となる。

$$ S(k) = R^2 + \frac{3}{4}\pi R^2 = \left(1 + \frac{3}{4}\pi\right)(r^2 - k^2) $$

これを $-r \le k \le r$ で積分して $T$ を求める。

$$ \begin{aligned} T &= \int_{-r}^{r} \left(1 + \frac{3}{4}\pi\right)(r^2 - k^2) dk \\ &= 2 \left(1 + \frac{3}{4}\pi\right) \left[ r^2 k - \frac{k^3}{3} \right]_{0}^{r} \\ &= 2 \left(1 + \frac{3}{4}\pi\right) \frac{2}{3}r^3 \\ &= \frac{4}{3}r^3 + \pi r^3 \end{aligned} $$

最後に $V$ を計算する。

$$ \begin{aligned} V &= 3S - 2T \\ &= 3\left(\pi r^2 + \frac{4}{3}\pi r^3\right) - 2\left(\frac{4}{3}r^3 + \pi r^3\right) \\ &= 3\pi r^2 + 4\pi r^3 - \frac{8}{3}r^3 - 2\pi r^3 \\ &= 3\pi r^2 + 2\pi r^3 - \frac{8}{3}r^3 \end{aligned} $$

解説

球の通過領域（ソーセージ型）に関する典型的な難問である。 空間図形の問題では「座標軸に垂直な平面で切断する」という方針が基本であり、本問でも (1) がその誘導となっている。(2) が本問最大の難所であり、切り口の平面上における2つの領域の最大距離の点を特定し、条件式を立式できるかが鍵となる。 (3) は包除原理（ベン図の考え方）を用いた体積の計算であるが、(2) の条件のおかげで $V_1 \cap V_2 \cap V_3$ という複雑な領域を考えなくて済むように作問されている。 (4) における $V_1 \cap V_2$ の体積計算では、端の半球部分が共通部分の形状にどう寄与するか（あるいはしないか）を正確に見極める必要がある。

答え

(1)

$$ 1-r \le t \le r $$

このとき、平面 $y=t$ による $V_1$ の断面は、半径 $\sqrt{r^2-t^2}$ の円が $x$ 軸方向に線分 $0 \leqq x \leqq 1$ を動いてできる横長のトラック型領域 $D_1(t)$ であり、$V_3$ の断面は、半径 $\sqrt{r^2-(t-1)^2}$ の円が直線 $x=1$ 上を $0 \leqq z \leqq 1$ の範囲で動いてできる縦長のトラック型領域 $D_3(t)$ である。

(2)

$$ \frac{1}{2} < r \le \frac{\sqrt{2}}{2} $$

(3)

$$ V = 3S - 2T $$

(4)

$$ S = \pi r^2 + \frac{4}{3}\pi r^3 $$

$$ T = \frac{4}{3}r^3 + \pi r^3 $$

$$ V = 3\pi r^2 + 2\pi r^3 - \frac{8}{3}r^3 $$