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東京大学 2003年理系第3問解説

方針・初手

平面 $z=t$ による円錐 $A$ および円柱 $B$ の切り口の図形をそれぞれ $xy$ 平面上の不等式で表し、その共通部分の面積 $S(t)$ を立式することが第一歩である。円の交点を求め、図形の対称性を利用して面積を求める。面積の計算には、図形を扇形と三角形（弓形）に分割する幾何学的なアプローチと、極座標を用いた積分の2通りが考えられる。（2）の体積計算では $t = 1-\cos\theta$ の置換積分を行い、得られた三角関数の定積分を計算する。積和の公式や部分積分を適切に用いて処理する。

解法1

(1)

平面 $z=t$ ($0 \leqq t \leqq 1$) における円錐 $A$ の切り口は、中心 $(0,0,t)$、半径 $2(1-t)$ の円の周および内部である。 $t = 1-\cos\theta$ より $1-t = \cos\theta$ であるから、切り口の半径は $2\cos\theta$ となる。したがって、$xy$ 平面上において、この領域 $D_A$ は次のように表される。

$$ x^2 + y^2 \leqq 4\cos^2\theta $$

一方、平面 $z=t$ における円柱 $B$ の切り口は、中心 $(1,0,t)$、半径 $1$ の円の周および内部である。 $xy$ 平面上において、この領域 $D_B$ は次のように表される。

$$ (x-1)^2 + y^2 \leqq 1 \iff x^2 + y^2 \leqq 2x $$

共通部分 $C$ の切り口は $D_A \cap D_B$ である。 2つの境界線の交点を求めるために、$x^2 + y^2 = 4\cos^2\theta$ と $x^2 + y^2 = 2x$ を連立すると、

$$ 2x = 4\cos^2\theta \iff x = 2\cos^2\theta $$

このとき $y$ 座標は、

$$ y^2 = 2(2\cos^2\theta) - (2\cos^2\theta)^2 = 4\cos^2\theta(1-\cos^2\theta) = 4\cos^2\theta\sin^2\theta $$

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta \geqq 0, \sin\theta \geqq 0$ であるから、$y = \pm 2\sin\theta\cos\theta = \pm \sin2\theta$ となる。交点のうち $y \geqq 0$ であるものを $P(2\cos^2\theta, \sin2\theta)$ とおく。領域は $x$ 軸について対称であるため、$y \geqq 0$ の部分の面積を求めて2倍する。

原点を $O(0,0)$、円柱の断面の中心を $M(1,0)$ とし、点 $R(2\cos\theta, 0)$ とする。求める面積の半分は、原点中心の円弧によって作られる「扇形 $O-PR$」の面積と、中心 $M$ の円弧によって作られる「弓形 $OP$」の面積の和である。

直線 $OP$ の傾きは $\frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^2\theta} = \tan\theta$ であるから、$OP$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角は $\theta$ である。よって、扇形 $O-PR$ は半径 $2\cos\theta$、中心角 $\theta$ であり、その面積 $S_1$ は、

$$ S_1 = \frac{1}{2} (2\cos\theta)^2 \cdot \theta = 2\theta\cos^2\theta $$

次に弓形 $OP$ の面積を求める。ベクトル $\vec{MO} = (-1, 0)$ と $\vec{MP} = (2\cos^2\theta - 1, \sin2\theta) = (\cos2\theta, \sin2\theta)$ のなす角は $\pi - 2\theta$ である。したがって、弓形 $OP$ の面積 $S_2$ は、半径 $1$、中心角 $\pi - 2\theta$ の扇形の面積から、$\triangle MOP$ の面積を引いたものになる。

$$ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot (\pi - 2\theta) - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(\pi - 2\theta) = \frac{\pi}{2} - \theta - \frac{1}{2}\sin2\theta $$

以上より、$S(t)$ はこれらの和の2倍である。

$$ \begin{aligned} S(t) &= 2(S_1 + S_2) \\ &= 2 \left( 2\theta\cos^2\theta + \frac{\pi}{2} - \theta - \frac{1}{2}\sin2\theta \right) \\ &= 4\theta\cos^2\theta - 2\theta - \sin2\theta + \pi \\ &= 2\theta(2\cos^2\theta - 1) - \sin2\theta + \pi \\ &= 2\theta\cos2\theta - \sin2\theta + \pi \end{aligned} $$

(2)

体積 $V$ は $\int_0^1 S(t) dt$ で求められる。 $t = 1-\cos\theta$ より $dt = \sin\theta d\theta$ であり、積分区間は $t: 0 \to 1$ に対応して $\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$ となる。

$$ \begin{aligned} V &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} S(\theta) \sin\theta d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\theta\cos2\theta - \sin2\theta + \pi) \sin\theta d\theta \\ &= \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta d\theta - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin2\theta\sin\theta d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\theta\cos2\theta\sin\theta d\theta \end{aligned} $$

それぞれの項を計算する。

第1項：

$$ \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta d\theta = \pi [-\cos\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = \pi $$

第2項：

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin2\theta\sin\theta d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2\theta\cos\theta d\theta = \left[ \frac{2}{3}\sin^3\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3} $$

第3項（積和の公式と部分積分を用いる）：

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta (2\cos2\theta\sin\theta) d\theta &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta (\sin3\theta - \sin\theta) d\theta \\ &= \left[ \theta \left( -\frac{1}{3}\cos3\theta + \cos\theta \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( -\frac{1}{3}\cos3\theta + \cos\theta \right) d\theta \\ &= 0 - \left[ -\frac{1}{9}\sin3\theta + \sin\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= - \left( \frac{1}{9} + 1 \right) = -\frac{10}{9} \end{aligned} $$

これらを合わせて、

$$ V = \pi - \frac{2}{3} - \frac{10}{9} = \pi - \frac{16}{9} $$

解法2

極座標を用いた面積計算と、(2)における微分の性質を利用した部分積分の別解を示す。

(1)

極座標 $(r, \phi)$ を用いると、$xy$ 平面上の円錐の断面 $D_A$ と円柱の断面 $D_B$ はそれぞれ以下のように表せる。

$$ D_A: r \leqq 2\cos\theta $$

$$ D_B: r \leqq 2\cos\phi \quad \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \phi \leqq \frac{\pi}{2} \right) $$

共通部分 $C$ は $r \leqq \min(2\cos\theta, 2\cos\phi)$ である。図形は $x$ 軸対称（$\phi$ の符号について対称）であるから、$0 \leqq \phi \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲を積分して2倍すればよい。 $0 \leqq \phi \leqq \theta$ のとき $\cos\phi \geqq \cos\theta$ より $\min(2\cos\theta, 2\cos\phi) = 2\cos\theta$ $\theta \leqq \phi \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos\phi \leqq \cos\theta$ より $\min(2\cos\theta, 2\cos\phi) = 2\cos\phi$

したがって、面積 $S(t)$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S(t) &= 2 \left( \int_0^\theta \frac{1}{2} (2\cos\theta)^2 d\phi + \int_\theta^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} (2\cos\phi)^2 d\phi \right) \\ &= \int_0^\theta 4\cos^2\theta d\phi + \int_\theta^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2\phi d\phi \\ &= [4\phi\cos^2\theta]_0^\theta + \int_\theta^{\frac{\pi}{2}} 2(1+\cos2\phi) d\phi \\ &= 4\theta\cos^2\theta + \left[ 2\phi + \sin2\phi \right]_\theta^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 4\theta\cos^2\theta + (\pi + 0) - (2\theta + \sin2\theta) \\ &= 2\theta(2\cos^2\theta - 1) - \sin2\theta + \pi \\ &= 2\theta\cos2\theta - \sin2\theta + \pi \end{aligned} $$

(2)

$S(\theta) = 2\theta\cos2\theta - \sin2\theta + \pi$ とおくと、その導関数は簡潔な形になる。

$$ S'(\theta) = 2\cos2\theta - 4\theta\sin2\theta - 2\cos2\theta = -4\theta\sin2\theta $$

体積 $V$ の定積分に対して、$\sin\theta = (-\cos\theta)'$ とみて部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} V &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} S(\theta) \sin\theta d\theta \\ &= \left[ S(\theta) (-\cos\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} S'(\theta) (-\cos\theta) d\theta \\ &= -S\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\frac{\pi}{2} + S(0)\cos0 + \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-4\theta\sin2\theta) (-\cos\theta) d\theta \end{aligned} $$

$S(0) = \pi, \cos\frac{\pi}{2} = 0$ であり、$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$$ \begin{aligned} V &= \pi + 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta\sin2\theta\cos\theta d\theta \\ &= \pi + 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta(\sin3\theta + \sin\theta) d\theta \end{aligned} $$

後半の積分について再度部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta(\sin3\theta + \sin\theta) d\theta &= \left[ \theta \left( -\frac{1}{3}\cos3\theta - \cos\theta \right) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( -\frac{1}{3}\cos3\theta - \cos\theta \right) d\theta \\ &= 0 - \left[ -\frac{1}{9}\sin3\theta - \sin\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\left( \frac{1}{9} + 1 \right) = -\frac{8}{9} \end{aligned} $$

（注：$-\frac{1}{9}\sin\frac{3\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$ であり、引くことで正になる）

正しくは、

$$ - \left( -\frac{1}{9}(-1) - 1 \right) = - \left( \frac{1}{9} - 1 \right) = \frac{8}{9} $$

これを代入して、

$$ V = \pi + 2 \left( -\frac{8}{9} \right) \quad \text{ではなく} \quad \pi - 2\left( \frac{8}{9} \right) \quad \text{でもなく、上の符号計算より} \\ V = \pi - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4\theta\sin2\theta\cos\theta d\theta = \pi - 2 \left( \frac{8}{9} \right) = \pi - \frac{16}{9} $$

（$S'(\theta) = -4\theta\sin2\theta$ のマイナスが被積分関数に残るため、$V = \pi - \int 4\theta\sin2\theta\cos\theta d\theta$ が正しい立式となる）

解説

（1）は、円錐と円柱の共通部分の切り口がどのような図形になるかを正しく把握する問題である。式の上では2つの円の共通部分となるが、交点の座標が $\theta$ で表せることに気づけば、幾何学的な扇形の面積の足し引き、または極座標を用いた面積分のいずれでも簡潔に求めることができる。特に、原点を通る円の方程式は極座標と相性が良いため、解法2の立式は非常に見通しが良くなる。

（2）は三角関数の積分の計算力が問われる。解法1のようにそのまま展開して積和の公式を繰り返し用いるのが基本だが、解法2のように $S(\theta)$ を微分すると項が相殺されてシンプルになることに着目し、部分積分に持ち込む工夫ができると、計算ミスを大きく減らすことができる。