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東京大学 1998年理系第5問解説

方針・初手

漸化式に現れる $\overrightarrow{OQ_n} = \overrightarrow{OP_n} - (\vec{a} \cdot \overrightarrow{OP_n})\vec{a}$ などの形は、ベクトルを特定の方向へ正射影した残りの成分（直交成分）を抽出する操作を表している。この反復操作を見通しよく扱うため、ベクトルを列ベクトルとみなし、操作を行列の積で表現する。行列に変換することで、漸化式を $\overrightarrow{OP_{n+1}} = C \overrightarrow{OP_n}$ のような単純な形に帰着でき、行列 $C$ の累乗を計算することで一般項を求めることができる。

解法1

位置ベクトル $\overrightarrow{OP_n}$ を列ベクトル $\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ と表す。

まず、$\vec{a} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$ に対して、$(\vec{a} \cdot \overrightarrow{OP_n})\vec{a}$ を成分で計算すると、

$$ (\vec{a} \cdot \overrightarrow{OP_n})\vec{a} = (x_n\cos\theta + y_n\sin\theta)\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} $$

となる。したがって、$\overrightarrow{OQ_n} = \overrightarrow{OP_n} - (\vec{a} \cdot \overrightarrow{OP_n})\vec{a}$ は行列を用いて次のように表せる。

$$ \overrightarrow{OQ_n} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin^2\theta & -\sin\theta\cos\theta \\ -\sin\theta\cos\theta & \cos^2\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} $$

この変換を表す行列を $A$ とおくと、行列の積を用いて次のように分解できる。

$$ A = \begin{pmatrix} \sin\theta \\ -\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} $$

同様に、$\vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{6} \\ \sin\frac{\pi}{6} \end{pmatrix}$ であるから、$\overrightarrow{OQ_n} - (\vec{b} \cdot \overrightarrow{OQ_n})\vec{b}$ を表す行列は、行列 $A$ において $\theta = \frac{\pi}{6}$ としたものに等しい。これを4倍した行列を $B$ とおくと、

$$ B = 4 \begin{pmatrix} \sin^2\frac{\pi}{6} & -\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6} \\ -\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6} & \cos^2\frac{\pi}{6} \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4} \\ -\frac{\sqrt{3}}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 3 \end{pmatrix} $$

この行列 $B$ も次のように分解できる。

$$ B = \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \end{pmatrix} $$

以上より、与えられた漸化式は $\overrightarrow{OP_{n+1}} = B A \overrightarrow{OP_n}$ と書ける。行列 $C = BA$ とおくと、

$$ C = \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta \\ -\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} $$

ここで、中央の積は $1 \times 1$ 行列（すなわちスカラー）であり、

$$ \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta \\ -\cos\theta \end{pmatrix} = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta $$

となる。$K = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ とおくと、

$$ C = K \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} $$

と表せる。行列 $C$ の累乗を計算する。

$$ C^2 = K^2 \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \left\{ \begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \right\} \begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} $$

波括弧の部分は先ほどと同じくスカラー $K$ となるため、

$$ C^2 = K^3 \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} = K^2 C $$

帰納的に、$n \geqq 1$ において $C^n = K^{2n-2} C$ が成り立つ。これを用いて、数列の一般項を求める。$\overrightarrow{OP_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ であるから、$n \geqq 2$ のとき

$$ \overrightarrow{OP_n} = C^{n-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = K^{2n-4} C \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ C \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = K \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = K \sin\theta \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} $$

よって、$n \geqq 2$ における一般項は次のように求まる。

$$ \overrightarrow{OP_n} = K^{2n-3} \sin\theta \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} $$

次に、数列 $\{x_n\}, \{y_n\}$ がともに収束する $\theta$ の条件を考える。 $x_n = K^{2n-3} \sin\theta$、$y_n = -\sqrt{3} K^{2n-3} \sin\theta$ ($n \geqq 2$) であるため、収束条件は以下の2つのいずれかが成り立つことである。

(i)

$\sin\theta = 0$ のとき $0 \leqq \theta < 2\pi$ より $\theta = 0, \pi$ である。このとき、すべての $n \geqq 2$ に対して $x_n = 0, y_n = 0$ となり収束する。極限値はともに $0$ である。

(ii)

$\sin\theta \neq 0$ のとき数列が収束するためには、公比にあたる $K^2$ に着目し、極限 $\lim_{n \to \infty} K^{2n-3}$ が収束しなければならない。奇数乗の列が収束する条件は、$-1 < K^2 < 1$ または $K=1$ または $K=-1$ である。すなわち $K^2 \leqq 1$ が条件となる。

$$ K = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) $$

であるから、$K^2 \leqq 1$ より

$$ 4\sin^2\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) \leqq 1 \iff -\frac{1}{2} \leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) \leqq \frac{1}{2} $$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ より $\frac{\pi}{3} \leqq \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$ であり、この範囲で不等式を解くと

$$ \frac{5\pi}{6} \leqq \theta + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{7\pi}{6} \quad \text{または} \quad \frac{11\pi}{6} \leqq \theta + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{13\pi}{6} $$

$$ \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{5\pi}{6} \quad \text{または} \quad \frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{11\pi}{6} $$

これらは $\sin\theta \neq 0$ を満たす。

（i）と（ii）を合わせると、収束する $\theta$ の範囲は

$$ \theta = 0, \pi, \quad \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{5\pi}{6}, \quad \frac{3\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{11\pi}{6} $$

極限値は $K$ の値によって以下のように場合分けされる。

(ア)

$K^2 < 1$ のときすなわち $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{11\pi}{6}$ のとき、$\lim_{n \to \infty} K^{2n-3} = 0$ となり、極限値は $x_n \to 0, y_n \to 0$ である。

(イ)

$K = 1$ のときすなわち $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ となる $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$ のとき、$K^{2n-3} = 1$ となる。極限は $\overrightarrow{OP_n} \to \sin\theta \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix}$ である。・$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin\frac{\pi}{2} = 1$ より極限は $(1, -\sqrt{3})$。・$\theta = \frac{11\pi}{6}$ のとき、$\sin\frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ より極限は $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$。

(ウ)

$K = -1$ のときすなわち $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ のとき、$K^{2n-3} = -1$ となる。極限は $\overrightarrow{OP_n} \to -\sin\theta \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix}$ である。・$\theta = \frac{5\pi}{6}$ のとき、$\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ より極限は $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$。・$\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$ より極限は $(1, -\sqrt{3})$。

解説

本問は、平面ベクトルにおける「正射影」の概念を理解しているかが問われる問題である。一般に、単位ベクトル $\vec{e}$ に対して $\vec{v} - (\vec{e} \cdot \vec{v})\vec{e}$ は、ベクトル $\vec{v}$ の「$\vec{e}$ に垂直な方向の成分」を抽出する操作に相当する。この操作を成分表示にして行列に書き換えると、自己随伴かつ冪等な行列（射影行列）が現れる。本解答では行列の積として展開し、ランク1の行列（列ベクトルと行ベクトルの積 $\vec{u}\vec{v}^T$ の形）に帰着させることで、行列の $n$ 乗を容易に計算する手法を採用した。この代数的な工夫により、漸化式の反復を非常に見通しよく処理できる。