トップ› 東京大学› 2005年› 理系第5問

東京大学 2005年理系第5問解説

方針・初手

甲の行動が終了した時点での甲のスコア（1回目の数と、引いた場合は2回目の数の和）を $S$ とする。甲が勝つための条件を、乙が引くカードの数 $c, d$ に関する条件として整理し、スコア $S$ が確定しているもとでの甲が勝つ確率を求めるのが見通しの良い方針である。

解法1

甲のカードの合計値を $S$ とする。甲が勝つためには、(ii) の段階でゲームが終了しないこと、すなわち $S \leqq N$ が必要である。 $S \leqq N$ であるとき、乙の行動によって甲が勝つ条件を考える。乙の引くカードの組合せ $(c, d)$ は $N^2$ 通りあり、これらは同様に確からしい。ゲームのルールより、甲が勝つのは以下の条件を両方満たすときである。

・(iii) の段階で乙が勝たない。すなわち $S \geqq c$ ・(iv) の段階で乙が勝たない。すなわち $c+d \leqq S$ または $c+d > N$

したがって、各 $c$ （$1 \leqq c \leqq S$）に対して、$d$ の満たすべき条件は

$$ 1 \leqq d \leqq S-c \quad \text{または} \quad N-c+1 \leqq d \leqq N $$

となる。ここで、$d$ のとりうる範囲は $1 \leqq d \leqq N$ であり、$S \leqq N$ より $S-c < N-c+1$ であるから、上記2つの範囲に重複はない。それぞれの範囲に含まれる $d$ の個数を求める。前半の $1 \leqq d \leqq S-c$ を満たす $d$ は $S-c$ 個である（$c=S$ のときは $0$ 個として成立する）。後半の $N-c+1 \leqq d \leqq N$ を満たす $d$ は $N - (N-c+1) + 1 = c$ 個である。よって、各 $c$ に対して条件を満たす $d$ は $(S-c) + c = S$ 個存在する。

$c$ は $1$ から $S$ までの $S$ 通りあるため、甲が勝つ $(c, d)$ の組は全体で $S \times S = S^2$ 個である。以上より、甲の合計値が $S$ （$S \leqq N$）のとき、その後に甲が勝つ確率は $\frac{S^2}{N^2}$ となる。

(1)

甲が2回目にカードを引かないとき、甲の合計値は $S = a$ である。 $a$ は1回目に引いたカードの数なので常に $1 \leqq a \leqq N$ を満たす。したがって、上で求めた結果に $S=a$ を代入して、甲の勝つ確率は

$$ \frac{a^2}{N^2} $$

となる。

(2)

甲が2回目にカードを引くとき、その数を $b$ （$1 \leqq b \leqq N$）とすると、甲の合計値は $S = a+b$ となる。甲が勝つためには、$a+b \leqq N$ すなわち $b \leqq N-a$ でなければならない。

$a=N$ のときは $b \leqq 0$ となり条件を満たす $b$ は存在しないため、(ii) の段階で必ず乙の勝ちとなり、甲が勝つ確率は $0$ である。 $1 \leqq a \leqq N-1$ のとき、$b$ は $1$ から $N-a$ までの値をそれぞれ $\frac{1}{N}$ の確率でとる。各 $b$ に対して、甲の合計値は $S = a+b \leqq N$ であり、甲が勝つ確率は $\frac{(a+b)^2}{N^2}$ である。したがって、求める確率は

$$ \sum_{b=1}^{N-a} \frac{1}{N} \cdot \frac{(a+b)^2}{N^2} = \frac{1}{N^3} \sum_{b=1}^{N-a} (a+b)^2 $$

となる。ここで $k = a+b$ とおくと、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{N^3} \sum_{k=a+1}^{N} k^2 &= \frac{1}{N^3} \left( \sum_{k=1}^{N} k^2 - \sum_{k=1}^{a} k^2 \right) \\ &= \frac{1}{N^3} \left\{ \frac{1}{6}N(N+1)(2N+1) - \frac{1}{6}a(a+1)(2a+1) \right\} \\ &= \frac{N(N+1)(2N+1) - a(a+1)(2a+1)}{6N^3} \end{aligned} $$

と計算できる。この式は $a=N$ のときも $0$ となり成立する。

解説

ルールがやや複雑に見えるが、甲のスコアが確定したあとに「乙がどう引けば甲が勝つか」を文字定数として処理することで劇的に見通しが良くなる。乙が勝つ条件（甲の敗北条件）が「$a+b < c+d \leqq N$」のように与えられているため、これを余事象的に「$c+d \leqq a+b$ または $c+d > N$」と言い換えるのがポイントである。カードの引き直しを伴う確率問題では、各プレイヤーの終了時の状態を独立して評価し、後手（乙）の行動全事象の中で条件を満たすものを数え上げるアプローチが有効である。