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東京大学 2023年理系第2問解説

方針・初手

同じ色の玉は区別せずに並べ方を考え、すべての並べ方は同様に確からしいとする。 (1) は、赤玉以外の玉を先に並べ、その両端と間に赤玉を挿入することで「赤玉が隣り合わない」並べ方を数え上げる。 (2) は、「赤玉が隣り合わない」並べ方のうち、「黒玉も隣り合わない」ものを数える。白玉の間に黒玉を配置する際、黒玉同士の隣接状況によって、赤玉を挿入すべき必須の場所が変わることに着目して場合分けを行う。

解法1

同じ色の玉を区別しない順列の総数を全事象として確率を求める。12個の玉の並べ方の総数 $N$ は

$$ N = \frac{12!}{3!4!5!} = 27720 $$

である。

(1)

どの赤玉も隣り合わない並べ方の総数 $n(A)$ を求める。まず、赤玉以外の黒玉3個と白玉5個を並べる。その並べ方は

$$ \frac{8!}{3!5!} = 56 $$

通りある。

次に、並んだ8個の玉の間と両端の9か所から4か所を選び、赤玉4個を1個ずつ入れれば、どの赤玉も隣り合わない。赤玉の入れ方は

$$ {}_9\mathrm{C}_{4} = 126 $$

通りある。

したがって、どの赤玉も隣り合わない並べ方の総数 $n(A)$ は

$$ n(A) = 56 \times 126 = 7056 $$

通りである。求める確率 $p$ は

$$ p = \frac{n(A)}{N} = \frac{7056}{27720} = \frac{14}{55} $$

となる。

(2)

どの赤玉も隣り合わない事象を $A$、どの黒玉も隣り合わない事象を $B$ とする。求める条件付き確率 $q$ は

$$ q = P_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} $$

で与えられる。

$n(A \cap B)$ は、「どの赤玉も隣り合わず、かつ、どの黒玉も隣り合わない」並べ方の総数である。これを求めるため、まず白玉5個を並べ、その間と両端の6か所に黒玉3個を入れる入れ方で場合分けをする。

（i）黒玉3個がすべて異なるか所に入る場合

黒玉の入れ方は

$$ {}_6\mathrm{C}_{3} = 20 $$

通りある。

このとき、黒玉はすでに隣り合っていない。並んだ8個の玉の間と両端9か所から4か所を選んで赤玉4個を入れれば、赤玉も黒玉も隣り合わない。赤玉の入れ方は

$$ {}_9\mathrm{C}_{4} = 126 $$

通りある。よって、この場合の並べ方は

$$ 20 \times 126 = 2520 $$

通りである。

（ii）黒玉3個のうち2個が同じか所に入り、1個が異なるか所に入る場合

黒玉の入れ方は

$$ 6 \times 5 = 30 $$

通りある。

このとき、並びの一部に「黒黒」と連続する箇所が1つできる。黒玉が隣り合わないようにするため、並んだ8個の玉の間と両端9か所に赤玉4個を入れる際、「黒黒」の間に必ず赤玉を1個入れなければならない。残りの赤玉3個を、残り8か所から選んで入れるため、赤玉の入れ方は

$$ {}_8\mathrm{C}_{3} = 56 $$

通りある。よって、この場合の並べ方は

$$ 30 \times 56 = 1680 $$

通りである。

（iii）黒玉3個がすべて同じか所に入る場合

黒玉の入れ方は $6$ 通りある。

このとき、並びの一部に「黒黒黒」と連続する箇所ができる。黒玉が隣り合わないようにするため、赤玉を入れる際、2か所の「黒と黒の間」にそれぞれ赤玉を1個ずつ（計2個）入れなければならない。残りの赤玉2個を、残り7か所から選んで入れるため、赤玉の入れ方は

$$ {}_7\mathrm{C}_{2} = 21 $$

通りある。よって、この場合の並べ方は

$$ 6 \times 21 = 126 $$

通りである。

（i）、（ii）、（iii）は互いに排反であるから、事象 $A \cap B$ の起こる並べ方の総数 $n(A \cap B)$ は

$$ n(A \cap B) = 2520 + 1680 + 126 = 4326 $$

通りである。

したがって、求める条件付き確率 $q$ は

$$ q = \frac{4326}{7056} = \frac{103}{168} $$

となる。

解説

(1) は「特定の要素が隣り合わない」という典型的な順列の問題であり、それ以外の要素を先に並べてから隙間に挿入する手法を用いる。 (2) は2種類の玉（赤玉と黒玉）の両方に「隣り合わない」という条件が課されている。このような場合は、条件の1つ（ここでは赤玉が隣り合わないこと）を基準にしつつ、もう1つの条件を満たすための「必須の挿入箇所」を考えるのが有効である。白玉を基準にして黒玉の並び方を分類し、黒玉の隣接度合いに応じて赤玉の配置の自由度がどう変化するかを正確に数え上げることが要点である。