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東京大学 2003年理系第5問解説

方針・初手

「積が特定の数で割り切れる確率」を求める問題では、直接求めるのではなく「割り切れない確率（余事象）」を考えるのが定石である。（1）では5の目が出ない確率に着目する。（2）では、4で割り切れない条件を「素因数2の個数が0個または1個」と言い換えて場合分けを行う。 (3)は「20で割り切れる」という条件を「4で割り切れる」かつ「5で割り切れる」と分解し、ド・モルガンの法則と包除原理を用いて余事象の和集合の確率を計算したのち、極限をとる。

解法1

(1)

$X_n$ が5で割り切れないのは、$n$ 回すべて5以外の目（1、2、3、4、6）が出る場合である。その確率は

$$ \left( \frac{5}{6} \right)^n $$

よって、求める確率は余事象の確率より

$$ 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n $$

(2)

$X_n$ が4で割り切れないのは、積が持つ素因数2の個数が0個または1個の場合である。これらは互いに排反な以下の2つの事象として表される。

（i）素因数2の個数が0個の場合

$n$ 回すべて奇数（1、3、5）の目が出る場合であり、その確率は

$$ \left( \frac{3}{6} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

（ii）素因数2の個数が1個の場合

$n$ 回のうち1回だけ「2または6」の目が出て、残り $n-1$ 回は奇数（1、3、5）の目が出る場合である。その確率は

$$ {}_n\mathrm{C}_{1} \left( \frac{2}{6} \right)^1 \left( \frac{3}{6} \right)^{n-1} = n \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = \frac{2n}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

（i）、（ii）より、$X_n$ が4で割り切れない確率は

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^n + \frac{2n}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{2n+3}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

よって、求める確率は余事象の確率より

$$ 1 - \frac{2n+3}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

(3)

事象 $A$ を「$X_n$ が4で割り切れる」、事象 $B$ を「$X_n$ が5で割り切れる」とする。 $X_n$ が20で割り切れる確率は $p_n = P(A \cap B)$ である。余事象の確率より

$$ p_n = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(\overline{A} \cup \overline{B}) $$

したがって

$$ 1 - p_n = P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) $$

ここで、$P(\overline{B})$ は(1)より、$P(\overline{A})$ は(2)の途中で求めた確率である。

$$ P(\overline{B}) = \left( \frac{5}{6} \right)^n $$

$$ P(\overline{A}) = \frac{2n+3}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

$P(\overline{A} \cap \overline{B})$ は「$X_n$ が4で割り切れず、かつ5で割り切れない」確率である。これは、5の目が出ない条件下で、素因数2の個数が0個または1個となる場合である。出うる目は1、2、3、4、6の5通りだが、4の目が出ると4で割り切れてしまうため、許される目は1、2、3、6の4通りとなる。

（ア） 5が出ず、素因数2が0個の場合

$n$ 回すべて「1または3」の目が出る場合であり、その確率は

$$ \left( \frac{2}{6} \right)^n = \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

（イ） 5が出ず、素因数2が1個の場合

$n$ 回のうち1回だけ「2または6」の目が出て、残り $n-1$ 回は「1または3」の目が出る場合である。その確率は

$$ {}_n\mathrm{C}_{1} \left( \frac{2}{6} \right)^1 \left( \frac{2}{6} \right)^{n-1} = n \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

（ア）、（イ）より

$$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \left( \frac{1}{3} \right)^n + n \left( \frac{1}{3} \right)^n = (n+1) \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

以上から、$1 - p_n$ は次のように表される。

$$ 1 - p_n = \left( \frac{5}{6} \right)^n + \frac{2n+3}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^n - (n+1) \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

極限を計算するために、底が最大となる項 $\left( \frac{5}{6} \right)^n$ でくくる。

$$ 1 - p_n = \left( \frac{5}{6} \right)^n \left\{ 1 + \frac{2n+3}{3} \left( \frac{3}{5} \right)^n - (n+1) \left( \frac{2}{5} \right)^n \right\} $$

ここで、中括弧の中を $a_n$ とおくと、$|r| < 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} n r^n = 0$ となる性質から

$$ \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{3}{5} \right)^n = 0, \quad \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{2}{5} \right)^n = 0 $$

であるから、$\lim_{n \to \infty} a_n = 1$ となる。

したがって

$$ \log (1 - p_n) = \log \left\{ \left( \frac{5}{6} \right)^n a_n \right\} = n \log \frac{5}{6} + \log a_n $$

$$ \frac{1}{n} \log (1 - p_n) = \log \frac{5}{6} + \frac{1}{n} \log a_n $$

$n \to \infty$ のとき、$a_n \to 1$ より $\log a_n \to \log 1 = 0$ であるから、$\frac{1}{n} \log a_n \to 0$ となる。

よって、求める極限は

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1 - p_n) = \log \frac{5}{6} $$

解説

（1）、（2）はサイコロの出目の積に関する確率の典型問題である。直接求めるのではなく余事象を活用する考え方が基本となる。
（2）において、4で割り切れない条件を「素因数2を持たない」または「素因数2をちょうど1つだけ持つ」と言い換え、適切に場合分けを行う必要がある。
（3）では20が $4 \times 5$ と素因数分解できることを利用し、確率の加法定理から包除原理 $P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$ を用いて和事象の確率を計算する。
複数の指数関数が含まれる和の極限計算では、底の絶対値が最も大きい項で式全体をくくり出すのが定石である。本問では $\frac{5}{6} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ であるため $\left( \frac{5}{6} \right)^n$ でくくっている。