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東京大学 2016年理系第2問解説

方針・初手

大会が終了せずに試合が続く場合、勝者の遷移がどのようになるかを具体的に書き出し、規則性を見つけることが第一歩となる。「ちょうど $n$ 試合目で A が優勝する」という事象は、「$n-1$ 試合目まで誰も連勝せず、かつ $n-1$ 試合目と $n$ 試合目で A が勝つ」という事象に等しい。これを 3 の剰余によって場合分けして確率を求める。後半の条件付き確率は、前半で求めた確率をもとに等比数列の和を計算し、最後の対戦相手が誰になるかを特定して処理する。

解法1

(1)

大会が終了せずに進行する場合、どのチームも2連勝しないため、隣り合う試合の勝者は必ず異なる。 1試合目は A または B が勝つ。それぞれの確率で場合分けして、連勝せずに続く勝者の列を調べる。

1試合目で A が勝った場合（A始まり） 2試合目は A と C の対戦となり、連勝しないためには C が勝つ必要がある。 3試合目は C と B の対戦となり、連勝しないためには B が勝つ必要がある。これを繰り返すと、勝者の列は $A, C, B, A, C, B, \cdots$ となり、周期 3 で「A, C, B」が繰り返される。この列が $k$ 試合目まで続く確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ である。

1試合目で B が勝った場合（B始まり） 2試合目は B と C の対戦となり、連勝しないためには C が勝つ必要がある。 3試合目は C と A の対戦となり、連勝しないためには A が勝つ必要がある。これを繰り返すと、勝者の列は $B, C, A, B, C, A, \cdots$ となり、周期 3 で「B, C, A」が繰り返される。この列が $k$ 試合目まで続く確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ である。

ちょうど $n$ 試合目（$n \ge 2$）で A が優勝するのは、$n-1$ 試合目まで誰も連勝せず、かつ $n-1$ 試合目の勝者が A であり、続く $n$ 試合目でも A が勝つときである。

(i)

$n \equiv 2 \pmod 3$ のとき $n-1 \equiv 1 \pmod 3$ であり、A始まりの列の $n-1$ 試合目の勝者が A となる。 B始まりの列では $n-1$ 試合目の勝者は B なので不適である。したがって、A始まりの列が $n-1$ 試合目まで続き、$n$ 試合目で A が勝てばよいので、その確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ である。

(ii)

$n \equiv 1 \pmod 3$ のとき $n-1 \equiv 0 \pmod 3$ であり、B始まりの列の $n-1$ 試合目の勝者が A となる。 A始まりの列では $n-1$ 試合目の勝者は B なので不適である。したがって、B始まりの列が $n-1$ 試合目まで続き、$n$ 試合目で A が勝てばよいので、その確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ である。

(iii)

$n \equiv 0 \pmod 3$ のとき $n-1 \equiv 2 \pmod 3$ であり、A始まりの列・B始まりの列ともに $n-1$ 試合目の勝者は C となる。したがって、ちょうど $n$ 試合目で A が優勝することはなく、確率は $0$ である。

(2)

総試合数が $3m$ 回以下で A が優勝する事象を $X$、そのうち A の最後の対戦相手が B である事象を $Y$ とする。求める条件付き確率は $P_{X}(Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$ である。

A がちょうど $n$ 試合目で優勝するとき、最後の対戦相手（$n$ 試合目で A と対戦して負けるチーム）を調べる。

(ア)

$n \equiv 2 \pmod 3$ のとき A始まりの列において、A は $1, 4, 7, \cdots$ つまり $3k-2$ 試合目で勝つ（$k \ge 1$）。その次の $3k-1$ 試合目（$n$ 試合目）の対戦相手は、直前の試合で待機していた C である。よって、最後の対戦相手は C である。

(イ)

$n \equiv 1 \pmod 3$ のとき B始まりの列において、A は $3, 6, 9, \cdots$ つまり $3k$ 試合目で勝つ（$k \ge 1$）。その次の $3k+1$ 試合目（$n$ 試合目）の対戦相手は、直前の試合で待機していた B である。よって、最後の対戦相手は B である。

事象 $X$ が起こる確率 $P(X)$ は、$n=2, 3, \cdots, 3m$ の範囲で A が優勝する確率の総和である。 $n \equiv 2 \pmod 3$ となるのは $n = 3k-1$（$k=1, 2, \cdots, m$） $n \equiv 1 \pmod 3$ となるのは $n = 3k+1$（$k=1, 2, \cdots, m-1$）ここで、$n=1$ は $n \ge 2$ の条件を満たさないため除外されることに注意する。

$$ \begin{aligned} P(X) &= \sum_{k=1}^m P(n = 3k-1) + \sum_{k=1}^{m-1} P(n = 3k+1) \\ &= \sum_{k=1}^m \left(\frac{1}{2}\right)^{3k-1} + \sum_{k=1}^{m-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{3k+1} \end{aligned} $$

それぞれの等比数列の和を計算する。

$$ \sum_{k=1}^m \left(\frac{1}{2}\right)^{3k-1} = \frac{\frac{1}{4} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^m \right\}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{2}{7} \left( 1 - 8^{-m} \right) $$

$$ \sum_{k=1}^{m-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{3k+1} = \frac{\frac{1}{16} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^{m-1} \right\}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{1}{14} \left( 1 - 8^{-m+1} \right) = \frac{1 - 8 \cdot 8^{-m}}{14} $$

よって、

$$ \begin{aligned} P(X) &= \frac{4 \left( 1 - 8^{-m} \right) + 1 - 8 \cdot 8^{-m}}{14} \\ &= \frac{5 - 12 \cdot 8^{-m}}{14} \end{aligned} $$

次に、事象 $X \cap Y$ は、総試合数 $3m$ 回以下で A が優勝し、かつ最後の対戦相手が B である事象である。これは (イ) のケースに該当するため、$n \equiv 1 \pmod 3$ のときの確率の和となる。

$$ P(X \cap Y) = \sum_{k=1}^{m-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{3k+1} = \frac{1 - 8 \cdot 8^{-m}}{14} $$

以上より、求める条件付き確率は

$$ \begin{aligned} P_X(Y) &= \frac{P(X \cap Y)}{P(X)} \\ &= \frac{\frac{1 - 8 \cdot 8^{-m}}{14}}{\frac{5 - 12 \cdot 8^{-m}}{14}} \\ &= \frac{1 - 8 \cdot 8^{-m}}{5 - 12 \cdot 8^{-m}} \\ &= \frac{8^m - 8}{5 \cdot 8^m - 12} \end{aligned} $$

解説

「誰も連勝しない」という条件が非常に強いため、勝者の推移が一意に決定されることに気づけるかが鍵となる。状態推移図（マルコフ連鎖）を用いて解くことも可能だが、本問のように具体的な列を書き出す方が見通しが立ちやすい。また、(2) の等比数列の和の計算では、初項と項数（特に $n \equiv 1 \pmod 3$ の系列では項数が $m-1$ 個になること）に気をつける必要がある。条件付き確率は定義に従って落ち着いて立式すればよい。