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東京大学 2014年文系第2問解説

方針・初手

袋の中の球の構成は、直前の操作で「白球を取り出したか」「赤球を取り出したか」のみによって決まることに着目する。 $n$ 回目の操作結果で場合分けを行い、$n$ 回目と $n+1$ 回目の確率を結ぶ漸化式を立てることが目標となる。

解法1

(1)

1回目の操作を行う前、袋 $U$ の中には白球 $a+2$ 個、赤球 $1$ 個の合計 $a+3$ 個の球が入っている。ここから球を1個取り出すとき、それが赤球である確率 $p_1$ は、

$$ p_1 = \frac{1}{a+3} $$

である。

次に、2回目の操作で赤球を取り出す事象を考える。これが発生するのは、「1回目に白球を取り出し、かつ2回目に赤球を取り出す」場合のみである。（※1回目に赤球を取り出した場合、操作ルール(ii)により袋に赤球は戻されないため、2回目に赤球を取り出すことはできない）

1回目に白球を取り出す確率は、

$$ 1 - p_1 = \frac{a+2}{a+3} $$

である。 1回目に白球を取り出したとき、操作ルール(i)により、袋 $U$ の中身は白球 $a$ 個、赤球 $1$ 個の合計 $a+1$ 個になる。この状態から2回目の操作を行い、赤球を取り出す確率は $\frac{1}{a+1}$ である。

したがって、$p_2$ はこれらを掛け合わせて、

$$ p_2 = \frac{a+2}{a+3} \cdot \frac{1}{a+1} = \frac{a+2}{(a+1)(a+3)} $$

となる。

(2)

$n \geqq 1$ において、$n$ 回目の操作で赤球を取り出す確率が $p_n$ であり、白球を取り出す確率は $1 - p_n$ である。

$n$ 回目の操作を終えた直後の袋 $U$ の状態は、次の2つの場合に分けられる。

(ア)

$n$ 回目に白球を取り出した場合（確率 $1 - p_n$）

操作ルール(i)により、袋 $U$ の中身は白球 $a$ 個、赤球 $1$ 個となる。このとき、続く $n+1$ 回目の操作で赤球を取り出す確率は $\frac{1}{a+1}$ である。

(イ)

$n$ 回目に赤球を取り出した場合（確率 $p_n$）

操作ルール(ii)により、取り出した赤球は戻されない。元々赤球は最大1個しか存在しないため、袋 $U$ の中身は白球のみとなる。このとき、続く $n+1$ 回目の操作で赤球を取り出す確率は $0$ である。

以上の排反な2つの場合により、$n+1$ 回目に赤球を取り出す確率 $p_{n+1}$ は次のように表せる。

$$ p_{n+1} = (1 - p_n) \cdot \frac{1}{a+1} + p_n \cdot 0 $$

整理すると、次の隣接2項間漸化式を得る。

$$ p_{n+1} = -\frac{1}{a+1} p_n + \frac{1}{a+1} $$

この漸化式を変形するために、特性方程式 $\alpha = -\frac{1}{a+1} \alpha + \frac{1}{a+1}$ を解く。

$$ \alpha \left( 1 + \frac{1}{a+1} \right) = \frac{1}{a+1} $$

$$ \alpha \left( \frac{a+2}{a+1} \right) = \frac{1}{a+1} $$

$$ \alpha = \frac{1}{a+2} $$

これを用いて漸化式を変形すると、

$$ p_{n+1} - \frac{1}{a+2} = -\frac{1}{a+1} \left( p_n - \frac{1}{a+2} \right) $$

となる。これは、数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{a+2} \right\}$ が、初項 $p_1 - \frac{1}{a+2}$、公比 $-\frac{1}{a+1}$ の等比数列であることを示している。

ここで、初項の値を計算する。（1）の結果を用いると、

$$ \begin{aligned} p_1 - \frac{1}{a+2} &= \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+2} \\ &= \frac{(a+2) - (a+3)}{(a+2)(a+3)} \\ &= -\frac{1}{(a+2)(a+3)} \end{aligned} $$

となる。したがって、一般項は次のように求められる。

$$ p_n - \frac{1}{a+2} = \left( -\frac{1}{(a+2)(a+3)} \right) \left( -\frac{1}{a+1} \right)^{n-1} $$

$$ p_n = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{(a+2)(a+3)} \left( -\frac{1}{a+1} \right)^{n-1} $$

この式は $n \geqq 1$ で成立するため、$n \geqq 3$ に対しての解答としても適切である。

解説

直前の結果のみによって次の事象の確率が決まる「マルコフ連鎖」を背景とした、確率漸化式の典型的な問題である。問題文の操作を正確に読み取り、「赤球が出た直後の袋は白球のみになる」「白球が出た直後の袋は必ず白 $a$ 個、赤 $1$ 個にリセットされる」という状態推移を把握できるかが鍵となる。 (1) で求めた $p_1, p_2$ の値は、(2) で導出した一般項が $n=1, 2$ のときにも合致するかどうかの検算に利用でき、解答の正当性を高める役割を果たす。