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東京大学 2016年文系第2問解説

方針・初手

大会が終了せずに試合が続くためには、毎試合勝者が入れ替わり続ける必要がある。1試合目の対戦カードはAとBに固定されているため、最初の勝者がどちらになるかで、その後に続く勝者の推移パターンが完全に2系統に決定される。この規則性を具体的に書き出し、Aがちょうど指定の試合数で優勝するための条件を整理することが第一歩となる。

解法1

$k$ 試合目の勝者を $X_k$ で表す。 2連勝したチームが出た時点で大会は終了するため、大会が継続している限り $X_k \neq X_{k+1}$ である。また、敗者は次の試合で待機し、待機していたチームが次の対戦相手となるため、大会が続く限り勝者は A, B, C の3チームを順番に巡回する。 1試合目はAとBの対戦であるため、$X_1$ は A または B である。それぞれのパターンにおいて、大会が終了しない場合の勝者の列は以下のようになる。

(i)

$X_1 = A$ の場合勝者は $A \to C \to B \to A \to C \to B \to \cdots$ の順に推移する。このとき、自然数 $j$ を用いて $X_k$ は次のように表される。

$k = 3j - 2$ のとき、$X_k = A$
$k = 3j - 1$ のとき、$X_k = C$
$k = 3j$ のとき、$X_k = B$

(ii)

$X_1 = B$ の場合勝者は $B \to C \to A \to B \to C \to A \to \cdots$ の順に推移する。このとき、自然数 $j$ を用いて $X_k$ は次のように表される。

$k = 3j - 2$ のとき、$X_k = B$
$k = 3j - 1$ のとき、$X_k = C$
$k = 3j$ のとき、$X_k = A$

$n$ 試合目（$n \ge 2$）でAが優勝するのは、$n-1$ 試合目まで優勝が決まらず、かつ $X_{n-1} = A$ となり、さらに $n$ 試合目でもAが勝つ（$X_n = A$）ときである。すべての対戦において各チームが勝つ確率は $\frac{1}{2}$ であるため、最初から $n$ 試合目まであらかじめ定まった特定の勝敗パターンが続く確率は、常に $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ となる。

(1) ちょうど5試合目でAが優勝するのは、$X_4 = A$ かつ $X_5 = A$ のときである。（i）, （ii）より、$X_4 = A$ となるのは（i）のパターンのみであり、その勝者の推移は $A \to C \to B \to A$ である。 5試合目もAが勝てば条件を満たすため、求める確率は

$$ \left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{1}{32} $$

(2) ちょうど $n$ 試合目でAが優勝するための条件は、直前の試合の勝者がA、すなわち $X_{n-1} = A$ となることである。（i）, （ii）より、$X_{n-1} = A$ となる $n$ を3で割った余りで分類して考える。

$n-1 = 3j - 2$ すなわち $n = 3j - 1$ （$n$ を3で割った余りが2）のとき $j \ge 1$ より $n \ge 2$ である。このとき（i）のパターンでのみ $X_{n-1} = A$ となり、求める確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ となる。
$n-1 = 3j$ すなわち $n = 3j + 1$ （$n$ を3で割った余りが1）のとき $j \ge 1$ より $n \ge 4$ である。このとき（ii）のパターンでのみ $X_{n-1} = A$ となり、求める確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ となる。
$n-1 = 3j - 1$ すなわち $n = 3j$ （$n$ が3の倍数）のとき（i）, （ii）いずれのパターンでも $X_{n-1} = C$ となるため、$X_{n-1} = A$ となることはなく、Aがちょうど $n$ 試合目で優勝する確率は $0$ である。

したがって、求める確率は、$n$ を3で割った余りが1または2のとき $\left(\frac{1}{2}\right)^n$、3の倍数のとき $0$ である。

(3) 総試合数が $3m$ 回以下でAが優勝する確率 $P_m$ は、(2)で求めた確率を $n \le 3m$ の範囲で足し合わせたものである。 Aが優勝する試合数 $n$ は、自然数 $j$ を用いて $n = 3j - 1$ ($1 \le j \le m$) または $n = 3j + 1$ ($1 \le j \le m-1$) のいずれかである。よって $P_m$ は次のように立式できる。

$$ P_m = \sum_{j=1}^{m} \left( \frac{1}{2} \right)^{3j-1} + \sum_{j=1}^{m-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{3j+1} $$

それぞれの和は、初項と公比が定まった等比数列の和として計算できる。

$$ \sum_{j=1}^{m} \left( \frac{1}{2} \right)^{3j-1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{32} + \cdots = \frac{\frac{1}{4} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^m \right\}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{2}{7} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^m \right\} $$

$$ \sum_{j=1}^{m-1} \left( \frac{1}{2} \right)^{3j+1} = \frac{1}{16} + \frac{1}{128} + \cdots = \frac{\frac{1}{16} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^{m-1} \right\}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{1}{14} \left\{ 1 - 8 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^m \right\} $$

これらを足し合わせることで、求める確率が得られる。

$$ \begin{aligned} P_m &= \frac{2}{7} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^m \right\} + \frac{1}{14} \left\{ 1 - 8 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^m \right\} \\ &= \frac{4}{14} - \frac{4}{14} \left(\frac{1}{8}\right)^m + \frac{1}{14} - \frac{8}{14} \left(\frac{1}{8}\right)^m \\ &= \frac{5}{14} - \frac{12}{14} \left(\frac{1}{8}\right)^m \\ &= \frac{5}{14} - \frac{6}{7} \left(\frac{1}{8}\right)^m \end{aligned} $$

解説

勝負が長引く（2連勝するチームが出ない）場合の、勝者の並びの規則性に気づけるかがこの問題の最大のポイントである。最初の1回戦の勝者が確定した時点で、その後優勝者が出ない展開は1通りに定まり、勝者が3周期で循環する。この事実を正確に把握できれば、事象を「指定されたパターン通りの勝敗が $n$ 回続く確率」と見なすことができるため、$(1/2)^n$ という極めてシンプルな形に帰着できる。最後の小問は等比数列の和の計算に過ぎないが、シグマの終端（項数）が $m$ と $m-1$ でずれている点に注意深く対応する必要がある。