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東京大学 2016年理系第6問解説

方針・初手

与えられた条件から、線分 $\text{AB}$ が通過する領域 $K$ の対称性に着目する。点 $\text{A}$ は $xy$ 平面上を動き、線分 $\text{AB}$ は常に $z$ 軸上の点 $\text{C}(0,0,1)$ を通る。このことから、領域 $K$ は $z$ 軸に関して回転対称な立体になることが分かる。したがって、まずは点 $\text{A}$ を $x$ 軸上に固定して $xz$ 平面内における線分 $\text{AB}$ の通過領域を調べ、それを $z$ 軸まわりに回転させてできる立体の体積を求める、という方針が有効である。また、空間ベクトルのまま点 $\text{P}$ の座標を表して断面の円の半径を直接求める方法もある。

解法1

1. $xz$ 平面での線分の通過範囲を考える

領域 $K$ は $z$ 軸に関して回転対称であるため、点 $\text{A}$ が $x$ 軸の $x \geqq 0$ の部分にある場合を考え、$xz$ 平面内での線分 $\text{AB}$ の動きを調べる。点 $\text{A}$ の座標を $(r, 0, 0)$ ($r \geqq 0$) とおく。点 $\text{C}(0, 0, 1)$ は線分 $\text{AB}$ 上にあるため、$\text{AC} \leqq \text{AB} = 2$ を満たさなければならない。 $\text{AC} = \sqrt{r^2 + 1}$ であるから、

$$ \sqrt{r^2 + 1} \leqq 2 \iff 0 \leqq r \leqq \sqrt{3} $$

となる。直線 $\text{AC}$ の方程式は、傾きが $-\frac{1}{r}$、切片が $1$ であるから、

$$ z - 1 = -\frac{1}{r} x \iff x = -r(z - 1) $$

と表せる（これは $r=0$ のときも $x=0$ となり成立する）。点 $\text{B}$ の $z$ 座標を $z_B$ とおく。点 $\text{C}$ は線分 $\text{AB}$ 上にあるため、$\text{A, C, B}$ の $z$ 座標の大小関係から $z_B \geqq 1$ となる。線分 $\text{AC}$ と線分 $\text{AB}$ の $z$ 軸方向の長さの比を考えると、$\text{AC} : \text{AB} = (1 - 0) : (z_B - 0) = 1 : z_B$ となる。 $\text{AB} = z_B \cdot \text{AC}$ であり、$\text{AB} = 2$ であるから、

$$ 2 = z_B \sqrt{r^2 + 1} \iff z_B = \frac{2}{\sqrt{r^2 + 1}} $$

となる。したがって、線分 $\text{AB}$ のうち $z \geqq 1$ を満たす部分（すなわち線分 $\text{CB}$）上の点の座標 $(x, 0, z)$ は、次を満たす。

$$ x = -r(z - 1) \quad \left( 1 \leqq z \leqq \frac{2}{\sqrt{r^2 + 1}} \right) $$

2. $z$ を固定したときの断面の半径を求める

不等式 $z \geqq 1$ の表す範囲での体積を求めるため、$1 \leqq z \leqq 2$ なる $z$ の値を固定し、$r$ を $0 \leqq r \leqq \sqrt{3}$ の範囲で動かしたときの $x$ の取り得る範囲を考える。条件 $z \leqq \frac{2}{\sqrt{r^2 + 1}}$ より、

$$ \sqrt{r^2 + 1} \leqq \frac{2}{z} \iff r^2 + 1 \leqq \frac{4}{z^2} \iff r \leqq \sqrt{\frac{4}{z^2} - 1} $$

を得る。この右辺は $z \geqq 1$ のとき最大で $\sqrt{3}$ となるため、条件 $r \leqq \sqrt{3}$ を満たしている。このとき、 $x = -r(z - 1)$ である。 $z \geqq 1$ より $x \leqq 0$ であり、$x$ の絶対値 $|x| = r(z - 1)$ は $r$ が最大となるときに最大になる。よって、$|x|$ の最大値 $R(z)$ は、

$$ R(z) = (z - 1)\sqrt{\frac{4}{z^2} - 1} $$

となる。領域 $K$ を平面 $z = t$ ($1 \leqq t \leqq 2$) で切断した断面は、原点を中心とする半径 $R(t)$ の円の内部となる。

3. 断面積を積分して体積を求める

平面 $z = t$ における断面積 $S(t)$ は、

$$ S(t) = \pi \{ R(t) \}^2 = \pi (t - 1)^2 \left( \frac{4}{t^2} - 1 \right) $$

$$ S(t) = \pi \frac{(t - 1)^2 (4 - t^2)}{t^2} = \pi \frac{-t^4 + 2t^3 + 3t^2 - 8t + 4}{t^2} $$

$$ S(t) = \pi \left( -t^2 + 2t + 3 - \frac{8}{t} + \frac{4}{t^2} \right) $$

求める体積 $V$ は、$S(t)$ を $t=1$ から $t=2$ まで積分して得られる。

$$ V = \int_{1}^{2} S(t) dt = \pi \int_{1}^{2} \left( -t^2 + 2t + 3 - \frac{8}{t} + \frac{4}{t^2} \right) dt $$

$$ V = \pi \left[ -\frac{1}{3}t^3 + t^2 + 3t - 8\log t - \frac{4}{t} \right]_{1}^{2} $$

$$ V = \pi \left\{ \left( -\frac{8}{3} + 4 + 6 - 8\log 2 - 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 1 + 3 - 4 \right) \right\} $$

$$ V = \pi \left\{ \left( \frac{16}{3} - 8\log 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} \right) \right\} $$

$$ V = \pi \left( \frac{17}{3} - 8\log 2 \right) $$

解法2

1. ベクトルを用いた点 $\text{P}$ の座標の表現

点 $\text{A}$ の座標を $(x, y, 0)$ とする。点 $\text{C}(0, 0, 1)$ との距離を $s$ とすると、

$$ s = \text{AC} = \sqrt{x^2 + y^2 + 1} $$

点 $\text{C}$ は長さ $2$ の線分 $\text{AB}$ 上にあるため、$1 \leqq s \leqq 2$ である。 $\text{A, C, B}$ はこの順に並ぶため、ベクトル $\overrightarrow{\text{CB}}$ は $\overrightarrow{\text{AC}}$ と同じ向きであり、その長さは $2 - s$ である。よって、

$$ \overrightarrow{\text{CB}} = \frac{2 - s}{s} \overrightarrow{\text{AC}} = \frac{2 - s}{s} (-x, -y, 1) $$

領域 $K$ のうち $z \geqq 1$ を満たす部分は、線分 $\text{CB}$ が通過する領域である。線分 $\text{CB}$ 上の点 $\text{P}(X, Y, Z)$ は、実数 $u$ ($0 \leqq u \leqq 1$) を用いて $\overrightarrow{\text{CP}} = u \overrightarrow{\text{CB}}$ と表せる。

$$ (X, Y, Z) - (0, 0, 1) = u \frac{2 - s}{s} (-x, -y, 1) $$

$$ \begin{cases} X = -u \frac{2 - s}{s} x \\ Y = -u \frac{2 - s}{s} y \\ Z = 1 + u \frac{2 - s}{s} \end{cases} $$

2. $Z$ を固定した断面の考察

第3式より $u \frac{2 - s}{s} = Z - 1$ であるから、これを $X, Y$ の式に代入すると、

$$ X = -(Z - 1)x, \quad Y = -(Z - 1)y $$

$$ X^2 + Y^2 = (Z - 1)^2 (x^2 + y^2) $$

$x^2 + y^2 = s^2 - 1$ であるため、

$$ X^2 + Y^2 = (Z - 1)^2 (s^2 - 1) $$

となる。ここで $Z$ の値を $Z = t$ ($1 \leqq t \leqq 2$) と固定する。 $t = 1 + u \frac{2 - s}{s}$ であり、$0 \leqq u \leqq 1$ であるから、

$$ t \leqq 1 + \frac{2 - s}{s} = \frac{2}{s} \iff s \leqq \frac{2}{t} $$

もともと $1 \leqq s \leqq 2$ であるから、$s$ の取り得る範囲は $1 \leqq s \leqq \frac{2}{t}$ となる。平面 $Z = t$ における断面は原点を中心とする円であり、その半径の2乗 $X^2 + Y^2$ は、$s$ が最大値 $\frac{2}{t}$ をとるときに最大となる。したがって、断面の最大半径の2乗 $R(t)^2$ は、

$$ R(t)^2 = (t - 1)^2 \left( \frac{4}{t^2} - 1 \right) $$

となり、解法1と同じ断面積 $S(t)$ の式が得られる。これ以降の積分計算は解法1と同様である。

解説

通過領域の体積を求める問題の定石は「ある文字（座標）を固定して断面を考えること」である。本問では条件に $z$ 軸まわりの回転対称性が含まれていることを見抜くのが最大の鍵である。解法1のように最初から $xz$ 平面での通過領域に落とし込んで考えることで、空間座標での複雑な計算を避け、見通しよく解くことができる。解法2のように空間ベクトルのままパラメータ表示を行う方法も、立式を丁寧に行えば $X^2+Y^2$ の最大値を求めることに帰着できるため、論理の飛躍なく安全に解答にたどり着くことができる。どちらのアプローチでも、$z$ を固定した際に「$r$ (または $s$) がどこまで動けるのか」という条件を見落とさないことが重要である。