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東京大学 2013年理系第6問解説

方針・初手

立体 $V_1$ および $V_2$ を座標を用いた不等式で表現することが第一歩である。正方形 $S$ を対角線を中心に回転させた立体は、2つの円錐の底面を貼り合わせた形になる。点 $(x, y, z)$ が立体に含まれる条件を、「回転軸からの距離」と「軸に沿った位置」を用いて立式する。

(1) は得られた $V_1$ の不等式に $x=t$ を代入し、切断面の領域を $y, z$ 平面上で捉えて面積を計算する。(2) は $V_1$ と $V_2$ の共通部分の体積を求めるが、そのままでは複雑な立体になるため、平面 $x=t$ または平面 $z=k$ で切断し、対称性をうまく利用して積分計算を簡略化する。

解法1

$V_1$ と $V_2$ の不等式表現

$V_1$ は正方形 $S$ ($|x| \leqq 1, |y| \leqq 1$) を直線 $BD$ (直線 $y=x, z=0$) を軸として回転させた立体である。空間内の点 $P(x, y, z)$ から直線 $y=x, z=0$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、

$$ H\left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0\right) $$

となる。$P$ と軸の距離の2乗 $PH^2$ は、

$$ PH^2 = \left(x - \frac{x+y}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{x+y}{2}\right)^2 + z^2 = \frac{(x-y)^2}{2} + z^2 $$

である。次に、$H$ を通り軸に垂直な平面で正方形 $S$ を切ったときの線分について、軸からの距離の最大値（すなわち回転させたときの断面の半径）を求める。 $S$ 上の点 $(X, Y, 0)$ がこの平面上にある条件は $X+Y = x+y$ である。このとき $Y = x+y-X$ となり、$|X| \leqq 1, |Y| \leqq 1$ であるから、

$$ \max(-1, x+y-1) \leqq X \leqq \min(1, x+y+1) $$

を満たす。点 $(X, Y, 0)$ と軸の距離は $\frac{|X-Y|}{\sqrt{2}} = \frac{|2X-(x+y)|}{\sqrt{2}}$ である。$X$ が上記の範囲を動くとき、$|2X-(x+y)|$ の最大値は端点でとり、その値は $2-|x+y|$ となる。したがって、$H$ における回転体の半径を $r$ とすると $r = \frac{2-|x+y|}{\sqrt{2}}$ であり、点 $P$ が $V_1$ に属する条件は $PH \leqq r$、すなわち

$$ \sqrt{\frac{(x-y)^2}{2} + z^2} \leqq \frac{2-|x+y|}{\sqrt{2}} $$

両辺を $\sqrt{2}$ 倍して整理すると、$V_1$ の不等式は

$$ \sqrt{(x-y)^2 + 2z^2} \leqq 2 - |x+y| $$

となる。同様に、$V_2$ は $S$ を直線 $AC$ ($y=-x, z=0$) を軸に回転させた立体なので、$V_1$ の式の $y$ を $-y$ に置き換えて、

$$ \sqrt{(x+y)^2 + 2z^2} \leqq 2 - |x-y| $$

と表される。

(1) の解答

$V_1$ の式に $x=t$ ($0 \leqq t < 1$) を代入し、平面 $x=t$ における切り口の領域を求める。

$$ \sqrt{(y-t)^2 + 2z^2} \leqq 2 - |y+t| $$

右辺は非負であるから $|y+t| \leqq 2$ である。両辺を2乗して

$$ (y-t)^2 + 2z^2 \leqq (2 - |y+t|)^2 $$

絶対値を外すため、$y+t$ の符号で場合分けをする。

(i)

$y \geqq -t$ のとき $|y+t| = y+t$ より、

$$ y^2 - 2ty + t^2 + 2z^2 \leqq 4 - 4(y+t) + (y+t)^2 $$

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} 2z^2 &\leqq 4 - 4t - 4y + 4ty \\ z^2 &\leqq 2(1-t)(1-y) \end{aligned} $$

$1-t > 0$ より $y \leqq 1 - \frac{z^2}{2(1-t)}$ となる。

(ii)

$y < -t$ のとき $|y+t| = -(y+t)$ より、

$$ y^2 - 2ty + t^2 + 2z^2 \leqq 4 + 4(y+t) + (y+t)^2 $$

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} 2z^2 &\leqq 4 + 4t + 4y + 4ty \\ z^2 &\leqq 2(1+t)(1+y) \end{aligned} $$

$1+t > 0$ より $y \geqq \frac{z^2}{2(1+t)} - 1$ となる。

以上より、切り口の領域は

$$ \frac{z^2}{2(1+t)} - 1 \leqq y \leqq 1 - \frac{z^2}{2(1-t)} $$

となる。この $y$ の区間の幅は

$$ \left( 1 - \frac{z^2}{2(1-t)} \right) - \left( \frac{z^2}{2(1+t)} - 1 \right) = 2 - \frac{z^2}{1-t^2} $$

であり、幅が非負となる $z$ の範囲は $z^2 \leqq 2(1-t^2)$ すなわち $-\sqrt{2(1-t^2)} \leqq z \leqq \sqrt{2(1-t^2)}$ である。よって、切り口の面積 $S_1(t)$ は

$$ \begin{aligned} S_1(t) &= \int_{-\sqrt{2(1-t^2)}}^{\sqrt{2(1-t^2)}} \left( 2 - \frac{z^2}{1-t^2} \right) dz \\ &= 2 \left[ 2z - \frac{z^3}{3(1-t^2)} \right]_0^{\sqrt{2(1-t^2)}} \\ &= 2 \left( 2\sqrt{2(1-t^2)} - \frac{2\sqrt{2(1-t^2)}}{3} \right) \\ &= \frac{8\sqrt{2}}{3} \sqrt{1-t^2} \end{aligned} $$

となる。

(2) の解答

$V_1$ と $V_2$ の式は、$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸のそれぞれの反転（$x \to -x$ など）に対して互いに移り変わるか不変であるため、共通部分 $V$ は各座標平面に関して対称である。したがって、$x=t$ ($0 \leqq t \leqq 1$) による $V$ の断面積を $S(t)$ とし、$2 \int_0^1 S(t) dt$ を計算すればよい。

$V_2$ の式に $x=t$ を代入すると、

$$ \sqrt{(y+t)^2 + 2z^2} \leqq 2 - |y-t| $$

(1) と同様の手順で展開し、$y-t$ の符号で場合分けして整理すると、

$$ \begin{aligned} &y \geqq t \text{ のとき } y \leqq 1 - \frac{z^2}{2(1+t)} \\ &y < t \text{ のとき } y \geqq \frac{z^2}{2(1-t)} - 1 \end{aligned} $$

となる。これらをまとめると、$V_2$ の $x=t$ における領域は

$$ \frac{z^2}{2(1-t)} - 1 \leqq y \leqq 1 - \frac{z^2}{2(1+t)} $$

である。$V_1$ と $V_2$ の共通部分は、(1) で求めた $V_1$ の $y$ の範囲との共通範囲となる。下限と上限をそれぞれ比較すると、$t \geqq 0$ より $1-t \leqq 1+t$ であるから、

$$ \begin{aligned} \text{下限: } & \frac{z^2}{2(1+t)} - 1 \leqq \frac{z^2}{2(1-t)} - 1 \\ \text{上限: } & 1 - \frac{z^2}{2(1-t)} \leqq 1 - \frac{z^2}{2(1+t)} \end{aligned} $$

が成り立つ。よって、共通部分はそれぞれの「厳しい方」の条件を採用して、

$$ \frac{z^2}{2(1-t)} - 1 \leqq y \leqq 1 - \frac{z^2}{2(1-t)} $$

となる。この区間の幅は $2 - \frac{z^2}{1-t}$ であり、存在する $z$ の範囲は $-\sqrt{2(1-t)} \leqq z \leqq \sqrt{2(1-t)}$ である。断面積 $S(t)$ は

$$ \begin{aligned} S(t) &= \int_{-\sqrt{2(1-t)}}^{\sqrt{2(1-t)}} \left( 2 - \frac{z^2}{1-t} \right) dz \\ &= 2 \left[ 2z - \frac{z^3}{3(1-t)} \right]_0^{\sqrt{2(1-t)}} \\ &= \frac{8\sqrt{2}}{3} \sqrt{1-t} \end{aligned} $$

したがって、求める体積 $V$ は

$$ \begin{aligned} V &= 2 \int_0^1 S(t) dt \\ &= 2 \int_0^1 \frac{8\sqrt{2}}{3} (1-t)^{\frac{1}{2}} dt \\ &= \frac{16\sqrt{2}}{3} \left[ -\frac{2}{3}(1-t)^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 \\ &= \frac{32\sqrt{2}}{9} \end{aligned} $$

となる。

解法2

(2) について、平面 $z=k$ による切断面から求める別解を示す。

対称性より $z=k \geqq 0$ として考える。 $V_1$ の不等式 $\sqrt{(x-y)^2 + 2k^2} \leqq 2 - |x+y|$ について、$x \geqq 0, y \geqq 0$（第1象限）のとき $|x+y| = x+y$ であるから、両辺を2乗して整理すると、

$$ \begin{aligned} (x-y)^2 + 2k^2 &\leqq (2 - x - y)^2 \\ 2k^2 &\leqq 4 - 4x - 4y + 4xy \\ k^2 &\leqq 2(1-x)(1-y) \end{aligned} $$

同様に、$V_2$ の不等式 $\sqrt{(x+y)^2 + 2k^2} \leqq 2 - |x-y|$ について、$x \geqq 0, y \geqq 0$ の範囲で絶対値を外す。 $x \geqq y$ のときは $k^2 \leqq 2(1-x)(1+y)$ となり、$x < y$ のときは $k^2 \leqq 2(1+x)(1-y)$ となる。ここで、$x \geqq 0, y \geqq 0$ においては常に

$$ \begin{aligned} (1-x)(1-y) &\leqq (1-x)(1+y) \\ (1-x)(1-y) &\leqq (1+x)(1-y) \end{aligned} $$

が成り立つため、$V_1$ の条件を満たせば自動的に $V_2$ の条件も満たされる。すなわち、第1象限においては完全に $V_1 \subset V_2$ となる。対称性から、各象限における $V_1 \cap V_2$ の断面積はすべて等しく、第1象限の $V_1$ の断面積の4倍が全体の断面積となる。

第1象限の $V_1$ の領域は $y \leqq 1 - \frac{k^2}{2(1-x)}$ であり、$x$ の範囲は $1 - \frac{k^2}{2(1-x)} \geqq 0$ より $0 \leqq x \leqq 1 - \frac{k^2}{2}$ である。この面積 $U(k)$ は、

$$ \begin{aligned} U(k) &= \int_0^{1-\frac{k^2}{2}} \left( 1 - \frac{k^2}{2(1-x)} \right) dx \\ &= \left[ x + \frac{k^2}{2} \log(1-x) \right]_0^{1-\frac{k^2}{2}} \\ &= 1 - \frac{k^2}{2} + \frac{k^2}{2} \log\left(\frac{k^2}{2}\right) \end{aligned} $$

全体の体積 $V$ は、$z$ の範囲 $-\sqrt{2} \leqq k \leqq \sqrt{2}$ で $4U(k)$ を積分して得られる。対称性より、

$$ V = 2 \int_0^{\sqrt{2}} 4 \left\{ 1 - \frac{k^2}{2} + \frac{k^2}{2} \log\left(\frac{k^2}{2}\right) \right\} dk $$

部分積分を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^{\sqrt{2}} \frac{k^2}{2} \log\left(\frac{k^2}{2}\right) dk &= \left[ \frac{k^3}{6} \log\left(\frac{k^2}{2}\right) \right]_0^{\sqrt{2}} - \int_0^{\sqrt{2}} \frac{k^3}{6} \cdot \frac{2}{k} dk \\ &= 0 - \int_0^{\sqrt{2}} \frac{k^2}{3} dk \\ &= -\left[ \frac{k^3}{9} \right]_0^{\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}}{9} \end{aligned} $$

また、

$$ \int_0^{\sqrt{2}} \left( 1 - \frac{k^2}{2} \right) dk = \left[ k - \frac{k^3}{6} \right]_0^{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$

以上より、

$$ V = 8 \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{9} \right) = \frac{32\sqrt{2}}{9} $$

解説

回転体の不等式表現を用いる典型的な良問である。回転軸からの距離と軸方向の座標を用いた立式を正確に行えるかが問われている。

(2) の共通部分の体積計算においては、立体の形状をそのまま想像するのは困難であるため、適切な平面で切断して2次元に落とし込むアプローチが必須となる。解法1のように $x=t$ で切断する場合、場合分けによって生じる境界の「厳しい方」をとることで、意外にもシンプルな放物線で囲まれた図形が残る。解法2のように $z=k$ で切断すると、第1象限において $V_1 \subset V_2$ となるという強力な包含関係が見え、計算量の削減と論理の美しさを両立できる。