トップ› 東京大学› 2016年› 理系第5問

東京大学 2016年理系第5問解説

方針・初手

与えられた小数 $0.a_1a_2\cdots a_k$ を文字でおき、分数表記にして扱うと見通しが良くなる。 (1) は各辺が正であることに注意して不等式を2乗し、整数部分と小数部分を評価して $n$ を絞り込む。 (2) は「区間の幅が $1$ より大きければ、その区間内に必ず整数が存在する」という性質を利用する。 (3) は背理法を用いる。与式をみたす整数 $s$ が存在すると仮定し、(1) と同様に平方して整数の剰余（特に $10^k$ を法とする合同式）に注目して矛盾を導く。

解法1

$A = 0.a_1a_2\cdots a_k$ とおき、$N = a_1 10^{k-1} + a_2 10^{k-2} + \cdots + a_k$ とおく。 $a_k \neq 0$ であるから、$N$ は $10$ の倍数ではない正の整数である。このとき、$A = \frac{N}{10^k}$ と表され、$0 < A < 1$ をみたす。また、$10^k A = N$ は整数である。

(1) 与えられた不等式は、

$$ A \leqq \sqrt{n} - 10^k < A + 10^{-k} $$

各辺に $10^k$ を加えて、

$$ 10^k + A \leqq \sqrt{n} < 10^k + A + 10^{-k} $$

各辺は正であるから、辺々を2乗しても同値である。

$$ (10^k + A)^2 \leqq n < (10^k + A + 10^{-k})^2 $$

展開して整理すると、

$$ 10^{2k} + 2 \cdot 10^k A + A^2 \leqq n < 10^{2k} + 2 \cdot 10^k A + 2 + 2A \cdot 10^{-k} + 10^{-2k} $$

右辺はさらに次のように変形できる。

$$ 10^{2k} + 2 \cdot 10^k A + A^2 \leqq n < 10^{2k} + 2 \cdot 10^k A + 2 + (A + 10^{-k})^2 $$

ここで、$M = 10^{2k} + 2 \cdot 10^k A$ とおくと、$10^k A = N$ は整数であるから、$M$ も整数である。不等式を $M$ を用いて書き換えると、

$$ M + A^2 \leqq n < M + 2 + (A + 10^{-k})^2 $$

$0 < A < 1$ より $0 < A^2 < 1$ であるから、左側の不等式より、

$$ M < M + A^2 \leqq n $$

$n$ は整数であるから、$n \geqq M + 1$ が成り立つ。一方、$A$ は小数点以下 $k$ 桁の実数なので最大でも $1 - 10^{-k}$ である。すなわち $A + 10^{-k} \leqq 1$ が成り立つ。これより $0 < (A + 10^{-k})^2 \leqq 1$ であるから、右側の不等式について、

$$ n < M + 2 + (A + 10^{-k})^2 \leqq M + 3 $$

$n$ は整数であるから、$n \leqq M + 2$ が成り立つ。したがって、これをみたす整数 $n$ の候補は $n = M + 1, M + 2$ に絞られる。これらは実際に不等式 $M + A^2 \leqq n < M + 2 + (A + 10^{-k})^2$ をみたすため、ともに解である。 $M = 10^{2k} + 2N$ に戻して、求める正の整数 $n$ は $n = 10^{2k} + 2N + 1, 10^{2k} + 2N + 2$ である。

(2) 与えられた不等式は、

$$ p + A \leqq \sqrt{m} < p + A + 10^{-k} $$

各辺は正であるから、辺々を2乗して、

$$ (p + A)^2 \leqq m < (p + A + 10^{-k})^2 $$

この区間の幅 $D$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} D &= (p + A + 10^{-k})^2 - (p + A)^2 \\ &= 2(p + A)10^{-k} + 10^{-2k} \\ &= 2p \cdot 10^{-k} + 2A \cdot 10^{-k} + 10^{-2k} \end{aligned} $$

$p \geqq 5 \cdot 10^{k-1}$ であるから、

$$ 2p \cdot 10^{-k} \geqq 2 \cdot 5 \cdot 10^{k-1} \cdot 10^{-k} = 10^k \cdot 10^{-k} = 1 $$

また、$A > 0$ より $2A \cdot 10^{-k} + 10^{-2k} > 0$ であるから、$D > 1$ となる。実数の区間 $[ \alpha, \beta )$ について、区間の幅が $\beta - \alpha > 1$ をみたすとき、その区間内には必ず整数が存在する。（具体的には、整数 $m = [\alpha] + 1$ が $\alpha < m \leqq \alpha + 1 < \beta$ をみたす。）したがって、不等式をみたす正の整数 $m$ は存在する。

(3) 与式をみたす正の整数 $s$ が存在すると仮定する。 $p = [\sqrt{s}]$ とおくと、$s \geqq 1$ より $\sqrt{s} \geqq 1$ であるから、$p$ は正の整数である。与式より、

$$ \sqrt{s} = p + A $$

両辺を2乗して整理すると、

$$ \begin{aligned} s &= p^2 + 2pA + A^2 \\ s - p^2 &= A(2p + A) \end{aligned} $$

$A = \frac{N}{10^k}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} s - p^2 &= \frac{N}{10^k} \left( 2p + \frac{N}{10^k} \right) \\ &= \frac{2pN \cdot 10^k + N^2}{10^{2k}} \end{aligned} $$

$s, p$ は整数であるから、左辺 $s - p^2$ は整数である。したがって、右辺の分子 $2pN \cdot 10^k + N^2$ は分母 $10^{2k}$ の倍数でなければならない。これが $10^{2k}$ で割り切れるためには、少なくとも $10^k$ で割り切れなければならないので、

$$ 2pN \cdot 10^k + N^2 \equiv 0 \pmod{10^k} $$

$2pN \cdot 10^k \equiv 0 \pmod{10^k}$ であるから、

$$ N^2 \equiv 0 \pmod{10^k} $$

すなわち、$N^2$ は $10^k$ の倍数である。 $10^k = 2^k \cdot 5^k$ であるため、$N^2$ が $10^k$ の倍数であるならば、$N^2$ は $2$ と $5$ の両方を素因数にもつ。したがって、$N$ も $2$ と $5$ の両方を素因数にもつことになり、$N$ は $10$ の倍数となる。しかし、これは $N$ の一の位の数 $a_k$ が $0$ でないことに矛盾する。よって、等式をみたす正の整数 $s$ は存在しない。

解説

ルートを外すために不等式全体を平方し、整数条件に持ち込む典型問題である。 (1) では、区間の両端を平方したのち、どの部分が「整数」として確定できるかを見極めることが鍵になる。 (2) は「区間の幅 $> 1$」を示すことで整数の存在を保証する、証明問題における定石の論法である。 (3) は「小数を分数で表現して分母を払う」ことで整数の剰余問題に帰着させる。素因数 $2$ と $5$ の性質を利用して背理法を完遂させる、整数の論証力が問われる良問である。