トップ› 東京大学› 2018年› 理系第5問

東京大学 2018年理系第5問解説

方針・初手

（1）では、円の接線の方程式と、直線に関する対称点の条件を複素数で立式する。接線上の点を表す方程式と、線分 $AQ$ の中点が接線上にあること、直線 $AQ$ が接線と直交することの2条件を用いる。（2）は（1）の誘導に乗る。（1）で求めた絶対値の等式に $w = x+yi$ を代入することで軌跡の方程式が得られる。軌跡の限界（端点）は、$z$ の動く範囲から $w$ の実部または虚部の取り得る範囲を調べることで特定する。

解法1

(1)

点 $P(z)$ における円 $C$（$|z|=1$）の接線を $l$ とする。$l$ 上の任意の点を $Z$ とすると、ベクトル $PZ$ は中心からの動径ベクトル $OP$ と直交する。したがって、$\frac{Z-z}{z}$ は純虚数となるため、

$$ \frac{Z-z}{z} + \overline{\left(\frac{Z-z}{z}\right)} = 0 $$

$$ \frac{Z-z}{z} + \frac{\overline{Z}-\overline{z}}{\overline{z}} = 0 $$

分母を払い $z\overline{z}=1$ を用いると、接線 $l$ の方程式は次のように表される。

$$ \overline{z}Z + z\overline{Z} = 2 $$

点 $Q(u)$ は $l$ に関して点 $A(1)$ と対称であるから、以下の2つの条件を満たす。（i）線分 $AQ$ の中点 $\frac{u+1}{2}$ は $l$ 上にある。

$$ \overline{z}\left(\frac{u+1}{2}\right) + z\left(\frac{\overline{u}+1}{2}\right) = 2 $$

$$ \overline{z}u + z\overline{u} + z + \overline{z} = 4 \quad \cdots \text{①} $$

（ii）直線 $AQ$ は $l$ と直交する。すなわち、ベクトル $AQ$（複素数 $u-1$）は $OP$（複素数 $z$）と平行であるから、$\frac{u-1}{z}$ は実数となる。

$$ \frac{u-1}{z} = \overline{\left(\frac{u-1}{z}\right)} = \frac{\overline{u}-1}{\overline{z}} $$

$$ \overline{z}u - \overline{z} = z\overline{u} - z $$

$$ z\overline{u} - \overline{z}u = z - \overline{z} \quad \cdots \text{②} $$

① $-$ ② を計算して $\overline{u}$ を消去する。

$$ 2\overline{z}u + 2z = 4 - z + \overline{z} $$

$$ 2\overline{z}u = 4 - 3z + \overline{z} \quad (\text{※計算修正：} ①-② \text{より} 2\overline{z}u + z + \overline{z} = 4 - z + \overline{z}) $$

正しくは以下の通り。

$$ \begin{aligned} ( \overline{z}u + z\overline{u} ) - ( z\overline{u} - \overline{z}u ) &= ( 4 - z - \overline{z} ) - ( z - \overline{z} ) \\ 2\overline{z}u &= 4 - 2z \\ \overline{z}u &= 2 - z \end{aligned} $$

両辺に $z$ を掛け、$z\overline{z}=1$ を用いると、

$$ u = 2z - z^2 $$

次に、$w = \frac{1}{1-u}$ より、

$$ w = \frac{1}{1 - (2z - z^2)} = \frac{1}{(1-z)^2} $$

これより、$\overline{w}$ は次のように計算できる。

$$ \overline{w} = \frac{1}{(1-\overline{z})^2} = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{z}\right)^2} = \frac{z^2}{(z-1)^2} = \frac{z^2}{(1-z)^2} $$

したがって、$\frac{\overline{w}}{w}$ は、

$$ \frac{\overline{w}}{w} = \frac{\frac{z^2}{(1-z)^2}}{\frac{1}{(1-z)^2}} = z^2 $$

最後に、絶対値の商 $\frac{|w+\overline{w}-1|}{|w|}$ を求める。

$$ \frac{|w+\overline{w}-1|}{|w|} = \left| \frac{w+\overline{w}-1}{w} \right| = \left| 1 + \frac{\overline{w}}{w} - \frac{1}{w} \right| $$

ここで $\frac{1}{w} = (1-z)^2 = 1-2z+z^2$ であるから、

$$ \left| 1 + z^2 - (1-2z+z^2) \right| = |2z| = 2|z| = 2 $$

(2)

(1) の結果より、点 $R(w)$ は $|w+\overline{w}-1| = 2|w|$ を満たす。 $w = x+yi$ （$x, y$ は実数）とおくと、$\overline{w} = x-yi$ であり、

$$ |2x-1| = 2\sqrt{x^2+y^2} $$

両辺を2乗して整理する。

$$ (2x-1)^2 = 4(x^2+y^2) $$

$$ 4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + 4y^2 $$

$$ y^2 = -x + \frac{1}{4} \quad \cdots \text{③} $$

次に、点 $P(z)$ が $C'$ 上を動くときの $x$ の変域を調べる。 $z = \cos\theta + i\sin\theta$ とおくと、実部が $\frac{1}{2}$ 以下であるから $\cos\theta \leqq \frac{1}{2}$ を満たす。 $w = \frac{1}{(1-z)^2}$ の実部 $x$ を $\theta$ で表す。

$$ w = \frac{(1-\overline{z})^2}{|1-z|^4} = \frac{(1-\cos\theta+i\sin\theta)^2}{((1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta)^2} $$

分子を展開すると、

$$ \begin{aligned} (1-\cos\theta+i\sin\theta)^2 &= (1-\cos\theta)^2 - \sin^2\theta + 2i\sin\theta(1-\cos\theta) \\ &= 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta - (1-\cos^2\theta) + 2i\sin\theta(1-\cos\theta) \\ &= 2\cos^2\theta - 2\cos\theta + 2i\sin\theta(1-\cos\theta) \\ &= -2\cos\theta(1-\cos\theta) + 2i\sin\theta(1-\cos\theta) \end{aligned} $$

分母は、

$$ ((1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta)^2 = (2-2\cos\theta)^2 = 4(1-\cos\theta)^2 $$

よって、

$$ w = \frac{-2\cos\theta(1-\cos\theta) + 2i\sin\theta(1-\cos\theta)}{4(1-\cos\theta)^2} = \frac{-\cos\theta + i\sin\theta}{2(1-\cos\theta)} $$

これより、実部 $x$ は、

$$ x = -\frac{\cos\theta}{2(1-\cos\theta)} $$

$t = \cos\theta$ とおくと、$z \in C'$ より $-1 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$ である。

$$ x = -\frac{t}{2(1-t)} = \frac{1-t-1}{2(1-t)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(1-t)} $$

$-1 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$ において、$1-t$ は $\frac{1}{2} \leqq 1-t \leqq 2$ の範囲を動く。ゆえに、$\frac{1}{4} \leqq \frac{1}{2(1-t)} \leqq 1$ となり、$x$ の変域は、

$$ \frac{1}{2} - 1 \leqq x \leqq \frac{1}{2} - \frac{1}{4} $$

$$ -\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{4} $$

以上より、求める軌跡は ③ の放物線のうち、この変域を満たす部分である。

解法2

(2) の変域特定の別解

$w = \frac{1}{(1-z)^2}$ について、$v = 1-z$ とおく。 $z$ は $|z|=1$ かつ実部が $\frac{1}{2}$ 以下であるため、$v$ は中心 $1$、半径 $1$ の円周上で、かつ実部が $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 以上の部分を描く。原点を通る円周上の点 $v$ は、偏角を $\alpha$ とすると、図形的な性質（円周角の定理など）により $v = 2\cos\alpha (\cos\alpha + i\sin\alpha)$ と極形式で表せる。実部が $\frac{1}{2}$ 以上となる条件から、

$$ 2\cos^2\alpha \geqq \frac{1}{2} \iff \cos^2\alpha \geqq \frac{1}{4} $$

$v \neq 0$ と図形の位置関係から $-\frac{\pi}{3} \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{3}$ となり、$\frac{1}{2} \leqq \cos\alpha \leqq 1$ を満たす。このとき $w$ は、

$$ w = \frac{1}{v^2} = \frac{1}{4\cos^2\alpha (\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha)} = \frac{1}{4\cos^2\alpha} (\cos(-2\alpha) + i\sin(-2\alpha)) $$

$w = x+yi$ とすると、実部 $x$ は、

$$ x = \frac{\cos(-2\alpha)}{4\cos^2\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha - 1}{4\cos^2\alpha} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4\cos^2\alpha} $$

$\frac{1}{2} \leqq \cos\alpha \leqq 1$ より $\frac{1}{4} \leqq \cos^2\alpha \leqq 1$ であるから、$1 \leqq \frac{1}{\cos^2\alpha} \leqq 4$ となる。したがって、

$$ \frac{1}{2} - \frac{4}{4} \leqq x \leqq \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \iff -\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{4} $$

軌跡の方程式と合わせて、点 $R(w)$ の軌跡が定まる。

解説

複素数平面における直線の方程式や対称移動の処理は頻出テーマである。接線の方程式 $\overline{z}Z + z\overline{Z} = 2$ は公式として覚えておくと立式がスムーズである。（1）で唐突に感じられる $\frac{|w+\overline{w}-1|}{|w|}$ の計算は、（2）で軌跡の方程式（放物線）を導くための有効な誘導になっている。（2）の変域特定では、成分計算による $t=\cos\theta$ の置換を用いる解法1が確実である。一方、反転図形の性質を利用して極形式で処理する解法2のアプローチは計算量が少なく、図形的直感にも優れている。