東京大学 2024年 理系 第6問 解説

方針・初手

積が素数になるなら、一方の因子は $\pm 1$ でなければならない。まずこの観察で、$n$ の候補を大きく絞る。

(2) では $n = 1, -1, p, -p$ の4種類に分け、2次式 $n^2 + an + b = \pm 1$ の整数解の個数と位置関係を調べる。正の側と負の側の解が同時に多く現れないことを示せば、全体の個数を抑えられる。

解法1

(1)

$$ f(n) = n^3 + 10n^2 + 20n = n(n^2 + 10n + 20) $$

である。$f(n)$ が素数 $p$ になるとすると、

$$ n(n^2 + 10n + 20) = p $$

であるから、整数 $n$ は素数 $p$ の約数であり、

$$ n = 1, -1, p, -p $$

のいずれかに限られる。

まず $n = 1$ のとき

$$ f(1) = 31 $$

であり、これは素数である。

次に $n = -1$ のとき

$$ f(-1) = -11 $$

であり、素数ではない。

次に $n = p$ のときは

$$ p(p^2 + 10p + 20) = p $$

より

$$ p^2 + 10p + 19 = 0 $$

となるが、この方程式は整数解をもたない。

最後に $n = -p$ のときは

$$ -p(p^2 - 10p + 20) = p $$

より

$$ p^2 - 10p + 21 = 0 $$

となる。したがって

$$ (p-3)(p-7) = 0 $$

であるから、

$$ p = 3, 7 $$

である。対応する $n$ は

$$ n = -3, -7 $$

であり、実際に

$$ f(-3) = 3, \quad f(-7) = 7 $$

となる。

以上より、求める整数 $n$ は

$$ n = 1, -3, -7 $$

である。

(2)

$$ g(n) = n(n^2 + an + b) $$

とする。$g(n)$ が素数 $p$ になるなら、(1) と同様に

$$ n = 1, -1, p, -p $$

のいずれかである。

ここで

$$ B(x) = x^2 + ax + b $$

とおくと、各場合は次のように言い換えられる。

$$ \begin{aligned} &\text{(A)} \quad n = 1 \\ &\text{(B)} \quad n = -1 \\ &\text{(C)} \quad n \geqq 2 \text{ かつ } B(n) = 1 \\ &\text{(D)} \quad n \leqq -2 \text{ かつ } B(n) = -1 \end{aligned} $$

$B(x) = 1$ も $B(x) = -1$ も2次方程式であるから、それぞれの整数解は高々2個である。

まず、(C) を満たす整数と (D) を満たす整数が同時に存在しないことを示す。(C) を満たす整数を $c$、(D) を満たす整数を $d$ とすると、

$$ B(c) - B(d) = 1 - (-1) = 2 $$

である。一方、

$$ B(c) - B(d) = c^2 - d^2 + a(c-d) = (c-d)(c+d+a) $$

であるから、

$$ (c-d)(c+d+a) = 2 $$

となる。左辺の2因子はともに整数であるから、

$$ c-d \in \{ \pm 1, \pm 2 \} $$

でなければならない。しかし $c \geqq 2$, $d \leqq -2$ であるから

$$ c-d \geqq 4 $$

となり矛盾する。したがって、(C) と (D) は同時には起こらない。

次に場合分けをする。

（i） (C) の解が2個ある場合

その2解を $c_1, c_2$ とすると、

$$ B(x) - 1 = (x-c_1)(x-c_2) $$

である。よって

$$ \begin{aligned} g(-1) &= -B(-1) \\ &= - \left\{ (-1-c_1)(-1-c_2) + 1 \right\} \\ &= - \left\{ (c_1+1)(c_2+1) + 1 \right\} \end{aligned} $$

となる。$c_1, c_2 \geqq 2$ であるから

$$ (c_1+1)(c_2+1) + 1 > 0 $$

であり、

$$ g(-1) < 0 $$

となる。したがって (B) は起こらない。この場合、解の個数は (C) の2個と (A) の高々1個を合わせて高々3個である。

（ii） (D) の解が2個ある場合

その2解を $d_1, d_2$ とすると、

$$ B(x) + 1 = (x-d_1)(x-d_2) $$

である。よって

$$ \begin{aligned} g(-1) &= -B(-1) \\ &= - \left\{ (-1-d_1)(-1-d_2) - 1 \right\} \\ &= - \left\{ (d_1+1)(d_2+1) - 1 \right\} \end{aligned} $$

となる。$d_1, d_2 \leqq -2$ であるから

$$ d_1+1 \leqq -1, \quad d_2+1 \leqq -1 $$

であり、

$$ (d_1+1)(d_2+1) \geqq 1 $$

となる。したがって

$$ g(-1) \leqq 0 $$

であるから、(B) は起こらない。この場合も解の個数は高々3個である。

（iii） (C), (D) の解の個数の合計が1個以下の場合

(A), (B) はそれぞれ高々1個であるから、全体の解の個数は

$$ 1 + 1 + 1 = 3 $$

個以下である。

以上より、いずれの場合にも $g(n)$ が素数となる整数 $n$ の個数は3個以下である。

解説

素数は約数が限られているので、積の形に因数分解できたときは「どちらかの因子が $\pm 1$ である」という見方が基本となる。本問もその観察から出発すると見通しが立つ。

(2) の要点は、$B(n)=1$ を満たす正の整数解と $B(n)=-1$ を満たす負の整数解が同時に多く存在できないことを示す点にある。差をとって整数の積が $2$ になることを利用すると、解どうしの位置関係が強く制限される。

答え

(1)

$$ n = 1, -3, -7 $$

(2)

略（解法1の証明を参照）