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東京工業大学 2023年理系第4問解説

方針・初手

空間における複雑な立体の共通部分の体積を求める問題であるため、座標平面に平行な平面による切り口（断面）を考え、その面積を積分する定石を用いる。

立体A、Bが満たす条件を数式（不等式）で表現することから始める。特に、回転操作が「図形の条件式」にどう影響するかを正確に捉え、$z=t$ 平面での断面を考えやすいように整理する。

解法1

立体Aの条件を不等式で表す。 $x$軸を軸とする半径 $2$ の円柱の内部は $y^2 + z^2 \le 4$ であり、角柱の内部は $|y| < 1$ かつ $|z| < 1$ である。したがって、これを取り除いた立体Aの条件は以下のようになる。

$$ y^2 + z^2 \le 4 \quad \text{かつ} \quad (|y| \ge 1 \ \text{または} \ |z| \ge 1) $$

次に、立体Bの条件を求める。まず、Aを $x$軸のまわりに $45^\circ$ 回転させた立体を $\text{A}'$ とする。円柱 $y^2 + z^2 \le 4$ は $x$軸まわりの回転で不変である。除外される領域 $|y| < 1$ かつ $|z| < 1$ は、一辺の長さが $2$ で各辺が座標軸に平行な $y, z$ 平面上の正方形の内部である。これを原点まわりに $45^\circ$ 回転させると、頂点が軸上にある対角線の長さが $2\sqrt{2}$ の正方形（ひし形）の内部 $|y| + |z| < \sqrt{2}$ になる。したがって、$\text{A}'$ が満たす条件は以下のようになる。

$$ y^2 + z^2 \le 4 \quad \text{かつ} \quad |y| + |z| \ge \sqrt{2} $$

立体 $\text{A}'$ は $x$ の値に制限がないため、$x$軸に平行な柱体である。これを $z$軸のまわりに $90^\circ$ 回転させて得られる立体Bは、$y$軸に平行な柱体となり、$\text{A}'$ の条件式における $y$ を $x$（より厳密には $-x$ などの入れ替えだが、絶対値と2乗により符号は影響しない）に置き換えたものになる。したがって、立体Bの条件は以下のようになる。

$$ x^2 + z^2 \le 4 \quad \text{かつ} \quad |x| + |z| \ge \sqrt{2} $$

AとBの共通部分の体積 $V$ を求めるため、平面 $z = t$ で切断した断面を考える。立体は $xy$平面、$yz$平面、$zx$平面のすべてに関して対称であるため、$0 \le t \le 2$ の範囲で断面積 $S(t)$ を求め、最後に $2$ 倍する。

平面 $z = t$ における断面は、$x$ と $y$ がそれぞれ独立な不等式を満たす領域（長方形の集まり）となる。 Aの切り口における $y$ の範囲の長さを $L_A(t)$ とする。

$$ y^2 \le 4 - t^2 \quad \text{かつ} \quad (|y| \ge 1 \ \text{または} \ t \ge 1) $$

(i)

$0 \le t < 1$ のとき $t \ge 1$ を満たさないため、$|y| \ge 1$ が必要となる。 $-\sqrt{4-t^2} \le y \le -1$ または $1 \le y \le \sqrt{4-t^2}$ となるため、その長さは以下のように計算できる。

$$ L_A(t) = 2 \left( \sqrt{4-t^2} - 1 \right) $$

(ii)

$1 \le t \le 2$ のとき $t \ge 1$ を満たすため、無条件で $-\sqrt{4-t^2} \le y \le \sqrt{4-t^2}$ となる。

$$ L_A(t) = 2 \sqrt{4-t^2} $$

次に、Bの切り口における $x$ の範囲の長さを $L_B(t)$ とする。

$$ x^2 \le 4 - t^2 \quad \text{かつ} \quad |x| \ge \sqrt{2} - t $$

(iii)

$0 \le t < \sqrt{2}$ のとき $-\sqrt{4-t^2} \le x \le -(\sqrt{2}-t)$ または $\sqrt{2}-t \le x \le \sqrt{4-t^2}$ となるため、その長さは以下のように計算できる。

$$ L_B(t) = 2 \left( \sqrt{4-t^2} - (\sqrt{2}-t) \right) $$

(iv)

$\sqrt{2} \le t \le 2$ のとき $\sqrt{2} - t \le 0$ となり、$|x| \ge \sqrt{2} - t$ は常に満たされる。

$$ L_B(t) = 2 \sqrt{4-t^2} $$

断面積は $S(t) = L_A(t) L_B(t)$ であり、区間を $t=1$ と $t=\sqrt{2}$ で分割して積分する。体積の半分 $V/2$ を以下のように立式する。

$$ \frac{V}{2} = \int_{0}^{2} L_A(t) L_B(t) dt $$

ここで、積分計算を簡略化するため、基本となる $2\sqrt{4-t^2} \times 2\sqrt{4-t^2}$ の部分と、そこから除かれる部分に分けて記述する。すべて展開すると以下のようになる。

$$ \frac{V}{2} = \int_{0}^{2} 4(4-t^2) dt + \int_{0}^{\sqrt{2}} 4(-\sqrt{2}\sqrt{4-t^2} + t\sqrt{4-t^2}) dt + \int_{0}^{1} 4(-\sqrt{4-t^2} + \sqrt{2} - t) dt $$

それぞれの定積分を順に計算する。第1項は多項式の積分である。

$$ \int_{0}^{2} 4(4-t^2) dt = 4 \left[ 4t - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{64}{3} $$

第2項の前半部分は、半径 $2$ の円の面積の一部として図形的に計算する（$t=\sqrt{2}$ のとき、中心角は $45^\circ$ に相当する）。

$$ \int_{0}^{\sqrt{2}} (-4\sqrt{2}\sqrt{4-t^2}) dt = -4\sqrt{2} \left( \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \right) = -2\sqrt{2}\pi - 4\sqrt{2} $$

第2項の後半部分は、置換積分または微分の逆算で求められる。

$$ \int_{0}^{\sqrt{2}} 4t\sqrt{4-t^2} dt = 4 \left[ -\frac{1}{3} (4-t^2)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = 4 \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{8}{3} \right) = \frac{32 - 8\sqrt{2}}{3} $$

第3項の前半部分も、図形的に計算する（$t=1$ のとき、中心角は $30^\circ$ に相当する）。

$$ \int_{0}^{1} (-4\sqrt{4-t^2}) dt = -4 \left( \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \right) = -\frac{4}{3}\pi - 2\sqrt{3} $$

第3項の後半部分は多項式の積分である。

$$ \int_{0}^{1} 4(\sqrt{2}-t) dt = 4 \left[ \sqrt{2}t - \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} = 4\sqrt{2} - 2 $$

これらをすべて足し合わせる。

$$ \frac{V}{2} = \frac{64}{3} - 2\sqrt{2}\pi - 4\sqrt{2} + \frac{32}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}\pi - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{2} - 2 $$

式を整理する。

$$ \frac{V}{2} = 30 - 2\sqrt{3} - \frac{8\sqrt{2}}{3} - \left( 2\sqrt{2} + \frac{4}{3} \right) \pi $$

全体を $2$ 倍して体積 $V$ を得る。

$$ V = 60 - 4\sqrt{3} - \frac{16\sqrt{2}}{3} - \left( 4\sqrt{2} + \frac{8}{3} \right) \pi $$

解説

空間図形の共通部分の体積を求める典型的な難問である。図形を視覚的に想像して解くことは極めて困難であるため、立体の成立条件を $(x, y, z)$ の不等式として立式し、数式の処理に持ち込むことが必須となる。特に、回転移動による図形の変化を「不等式の文字の置き換え」や「図形的な特徴の抽出（正方形からひし形への変化など）」として正確に捉えられるかが鍵となる。また、断面積の積分において、式を展開して「円の面積の一部」として計算できる項と「多項式の積分」として計算できる項に分離することで、複雑な置換積分を減らし、計算ミスを防ぐ工夫が有効である。