数学1 背理法 問題 1 解説

方針・初手

(1) 背理法の定義を文字数制限内で簡潔に記述する。

(2) $\sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定し、既約分数で表して矛盾を導くという典型的な背理法を用いる。

解法1

(1)

ある命題が成り立たないと仮定して推論を進め、矛盾を導くことで、元の命題が成り立つことを証明する方法。（51字）

(2)

$\sqrt[3]{2}$ が無理数でない、すなわち有理数であると仮定する。 $\sqrt[3]{2} > 0$ であるから、互いに素な自然数 $p, q$ を用いて

$$\sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}$$

と表すことができる。両辺を3乗して分母を払うと

$$2q^3 = p^3 \quad \cdots \text{①}$$

となる。①より、$p^3$ は偶数である。もし $p$ が奇数であれば $p^3$ も奇数となるため、$p$ は偶数でなければならない。 したがって、ある自然数 $k$ を用いて $p = 2k$ と表せる。これを①に代入すると

$$2q^3 = (2k)^3 = 8k^3$$

$$q^3 = 4k^3$$

となる。これより $q^3$ は偶数となるため、$q$ も偶数でなければならない。 これは、$p$ と $q$ がともに偶数であることを意味し、$p$ と $q$ が公約数 $2$ を持つことになり、$p$ と $q$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。 ゆえに、最初の仮定は誤りであり、$\sqrt[3]{2}$ は無理数である。（証明終）

解説

背理法の意味とその運用を問う問題である。 (2) は「$\sqrt{2}$ が無理数であることの証明」と全く同じ論法を用いる。無理数の証明では、有理数であると仮定する際に「互いに素な自然数（または整数）の比」として既約分数で設定し、最終的に分母と分子が共通の素因数を持つことを示して「互いに素であること」に矛盾させるのが定番の流れである。

答え

(1)

ある命題が成り立たないと仮定して推論を進め、矛盾を導くことで、元の命題が成り立つことを証明する方法。

(2)

解説の通り。