数学1 背理法 問題 5 解説

方針・初手

「無理数であることを示せ」という問題の定石通り、背理法を用いる。$\log_2 7$ が有理数であると仮定し、矛盾を導く。対数の定義を用いて指数方程式の形に書き換え、整数の性質（偶奇や素因数分解の一意性）を利用して矛盾を示す。

解法1

$\log_2 7$ が有理数であると仮定する。

底について $2 > 1$、真数について $7 > 1$ であるから、$\log_2 7 > 0$ である。 したがって、$\log_2 7$ は正の有理数となるため、互いに素な自然数 $p, q$ を用いて次のように表すことができる。

$$ \log_2 7 = \frac{p}{q} $$

対数の定義より、これを指数の形に書き換えると以下のようになる。

$$ 2^{\frac{p}{q}} = 7 $$

両辺を $q$ 乗すると、次式を得る。

$$ 2^p = 7^q $$

ここで、$p, q$ は自然数であるから、$p \geqq 1$、$q \geqq 1$ である。 したがって、左辺 $2^p$ は $2$ を因数に持つため正の偶数であり、右辺 $7^q$ は奇数のみの積であるため正の奇数である。

偶数と奇数が等しくなることはないため、これは矛盾である。

ゆえに、最初の仮定は誤りであり、$\log_2 7$ は無理数であることが示された。

解説

無理数の証明における最も基本的なアプローチである背理法を用いる問題である。「有理数である」と仮定して $\frac{p}{q}$ （$p, q$ は整数、$q \neq 0$）とおき、式変形を経て矛盾を導く。

対数の無理数証明において、$\log_a b = \frac{p}{q}$ とおいて $a^p = b^q$ の形に持ち込み、素因数分解の一意性（あるいは本問のように偶奇）から矛盾を導く手法は典型的なパターンである。この流れを確実に押さえておく必要がある。

なお、$p, q$ を設定する際、「$\log_2 7 > 0$ より $p, q$ は自然数とできる」という断りを記述しておくことで、論理の飛躍を防ぐことができる。

答え

背理法を用い、$\log_2 7$ が有理数であると仮定すると $2^p = 7^q$ （$p, q$ は自然数）の形に帰着でき、両辺の偶奇が一致せず矛盾が生じることから、$\log_2 7$ が無理数であることを示した。