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数学1 背理法問題 13 解説

方針・初手

(1) は無理数であることの証明の定石通り、背理法を用いる。$\log_2 3$ が有理数であると仮定し、整数の偶奇や素因数分解の一意性などから矛盾を導く。

(2) は (1) の結果を利用する。$q \neq 0$ と仮定すると $\log_2 3$ が有理数として表せてしまうことを示し、矛盾を導くことで $q=0$ を確定させる。

(3) は方程式の両辺に現れる $9, 8, 1.5, 0.5$ などの底をすべて $2$ と $3$ の累乗の形に統一する。その後、式を整理して $3^Q = 2^R$ の形を作り、(2) の結果に帰着させる。

解法1

(1)

$\log_2 3$ が有理数であると仮定する。明らかに $\log_2 3 > 0$ であるから、互いに素な自然数 $p, q$ を用いて、

$$ \log_2 3 = \frac{p}{q} $$

と表すことができる。対数の定義より、これを指数を用いた形に書き直すと、

$$ 2^{\frac{p}{q}} = 3 $$

となる。両辺を $q$ 乗すると、

$$ 2^p = 3^q $$

が得られる。ここで、左辺の $2^p$ は $p$ が自然数であるため $2$ を因数にもち、偶数である。一方、右辺の $3^q$ は $q$ が自然数であるため $3$ の累乗であり、奇数である。偶数と奇数が等しくなることはないため、これは矛盾である。

したがって、仮定は誤りであり、$\log_2 3$ は無理数である。

(2)

与えられた等式は以下の通りである。

$$ 3^q = 2^r $$

両辺の $2$ を底とする対数をとると、

$$ \log_2 (3^q) = \log_2 (2^r) $$

$$ q \log_2 3 = r $$

となる。ここで、$q \neq 0$ と仮定すると、両辺を $q$ で割ることができ、

$$ \log_2 3 = \frac{r}{q} $$

となる。 $q, r$ は有理数であるため、$\frac{r}{q}$ も有理数となるが、これは (1) で証明した「$\log_2 3$ は無理数である」という事実に矛盾する。

したがって、$q = 0$ でなければならない。 $q = 0$ のとき、元の等式に代入すると、

$$ 3^0 = 2^r $$

$$ 1 = 2^r $$

これを満たす実数 $r$ は $r = 0$ であり、これは有理数であるという条件を満たす。以上より、求める有理数 $q, r$ の値は $q=0, r=0$ である。

(3)

与えられた方程式の各項の底を $2$ および $3$ に変換する。

左辺について、 $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ $8^{y-1} = (2^3)^{y-1} = 2^{3y-3}$ より、左辺は $3^{2x} \cdot 2^{3y-3}$ となる。

右辺について、 $1.5 = \frac{3}{2}$ より、$(1.5)^{2y+1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2y+1} = \frac{3^{2y+1}}{2^{2y+1}} = 3^{2y+1} \cdot 2^{-(2y+1)}$ $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ より、$(0.5)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$ より、右辺は $3^{2y+1} \cdot 2^{-(2y+1)} \cdot 2^{-x} = 3^{2y+1} \cdot 2^{-x-2y-1}$ となる。

よって、与えられた方程式は次のように書き直せる。

$$ 3^{2x} \cdot 2^{3y-3} = 3^{2y+1} \cdot 2^{-x-2y-1} $$

両辺を $3^{2y+1} \cdot 2^{3y-3}$ で割ると、

$$ 3^{2x - (2y+1)} = 2^{-x-2y-1 - (3y-3)} $$

$$ 3^{2x-2y-1} = 2^{-x-5y+2} $$

ここで、$x, y$ は有理数であるから、$2x-2y-1$ および $-x-5y+2$ も有理数である。したがって、(2) の結果を適用すると、この等式が成り立つための条件は両辺の指数がともに $0$ となることである。

$$ \begin{cases} 2x - 2y - 1 = 0 \\ -x - 5y + 2 = 0 \end{cases} $$

この連立方程式を解く。第2式より $x = 2 - 5y$ とし、これを第1式に代入する。

$$ 2(2 - 5y) - 2y - 1 = 0 $$

$$ 4 - 10y - 2y - 1 = 0 $$

$$ -12y + 3 = 0 $$

$$ y = \frac{1}{4} $$

これを $x = 2 - 5y$ に代入して、

$$ x = 2 - 5 \cdot \frac{1}{4} = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4} $$

$x, y$ はともに有理数であり、条件を満たす。

解説

前の小問の結果を次の小問の解答の根拠として利用する、典型的な誘導問題である。無理数の証明においては、本問のように有理数と仮定し「互いに素な自然数の比」で置くことで、素因数分解の一意性（あるいは偶奇の矛盾）に帰着させるのが定石である。また、指数の計算においては、小数を一旦分数に直し、すべての底を素数（今回は $2$ と $3$）に揃えることで見通し良く計算を進めることができる。