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数学1 背理法問題 14 解説

方針・初手

(1) 整数を $5$ で割った余りで分類し、それぞれの平方を $5$ で割った余りを調べる。 (2) (1) の結果を利用して、対偶を証明する。 (3) 背理法を用い、$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定して、(2) の性質を用いて矛盾を導く。 (4) 背理法を用い、$\sqrt{n} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定する。式を変形し、無理数である $\sqrt{5}$ について解くことで、(3) の結果との矛盾を導く。

解法1

(1)

すべての整数 $a$ は、整数 $k$ を用いて、$a=5k, 5k \pm 1, 5k \pm 2$ のいずれかで表される。それぞれの平方を考えると、

$$ (5k)^2 = 25k^2 = 5(5k^2) $$

$$ (5k \pm 1)^2 = 25k^2 \pm 10k + 1 = 5(5k^2 \pm 2k) + 1 $$

$$ (5k \pm 2)^2 = 25k^2 \pm 20k + 4 = 5(5k^2 \pm 4k) + 4 $$

$5k^2, 5k^2 \pm 2k, 5k^2 \pm 4k$ はすべて整数であるから、$a^2$ を $5$ で割った余りは、$0$ か $1$ か $4$ である。

(2)

命題「$a^2$ が $5$ で割りきれるならば、$a$ は $5$ で割りきれる」の対偶である「$a$ が $5$ で割りきれないならば、$a^2$ は $5$ で割りきれない」を示す。

$a$ が $5$ で割りきれないとき、(1) より $a = 5k \pm 1$ または $a = 5k \pm 2$ （$k$ は整数）と表される。 (1) の結果から、このときの $a^2$ を $5$ で割った余りは $1$ または $4$ となり、$0$ にはならない。すなわち、$a^2$ は $5$ で割りきれない。

対偶が真であるから、元の命題も真である。

(3)

$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定する。このとき、互いに素な自然数 $p, q$ を用いて、次のように表すことができる。

$$ \sqrt{5} = \frac{p}{q} $$

両辺を平方して分母を払うと、

$$ 5q^2 = p^2 $$

これより $p^2$ は $5$ の倍数であるから、(2) の結果より、$p$ も $5$ の倍数である。よって、自然数 $k$ を用いて $p=5k$ と表せる。これを上の式に代入すると、

$$ 5q^2 = (5k)^2 $$

$$ 5q^2 = 25k^2 $$

$$ q^2 = 5k^2 $$

これより $q^2$ も $5$ の倍数であるから、(2) の結果より、$q$ も $5$ の倍数である。したがって、$p$ と $q$ はともに $5$ の倍数となり、公約数 $5$ をもつ。これは $p, q$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

ゆえに、$\sqrt{5}$ は無理数である。

(4)

$\sqrt{n} + \sqrt{5}$ が有理数であると仮定し、その有理数を $r$ とおく。

$$ \sqrt{n} + \sqrt{5} = r $$

$$ \sqrt{n} = r - \sqrt{5} $$

両辺を平方すると、

$$ n = r^2 - 2r\sqrt{5} + 5 $$

$$ 2r\sqrt{5} = r^2 - n + 5 $$

ここで、$n$ は自然数であり $n \ge 1$ であるから、

$$ \sqrt{n} + \sqrt{5} \ge 1 + \sqrt{5} > 0 $$

よって $r > 0$ であり、$r \neq 0$ であるから、両辺を $2r$ で割ることができる。

$$ \sqrt{5} = \frac{r^2 - n + 5}{2r} $$

$r$ は有理数であり、$n, 5, 2$ も有理数であるから、右辺 $\frac{r^2 - n + 5}{2r}$ は有理数である。しかし、左辺 $\sqrt{5}$ は (3) より無理数であり、矛盾する。

したがって、仮定は誤りであり、$\sqrt{n} + \sqrt{5}$ は無理数である。

解法2

(1)

合同式を用いる。法を $5$ とする。すべての整数 $a$ に対して、$a \equiv 0, 1, 2, 3, 4 \pmod{5}$ のいずれかが成り立つ。それぞれについて平方すると、

$$ 0^2 \equiv 0 \pmod{5} $$

$$ 1^2 \equiv 1 \pmod{5} $$

$$ 2^2 \equiv 4 \pmod{5} $$

$$ 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5} $$

$$ 4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5} $$

よって、$a^2$ を $5$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかである。

(2)

命題「$a^2 \equiv 0 \pmod{5} \implies a \equiv 0 \pmod{5}$」を示す。

(1) の結果より、$a^2 \equiv 0 \pmod{5}$ となるのは $a \equiv 0 \pmod{5}$ のときのみである。よって、示された。

(3) および (4)

解法1と同様。

解説

背理法を用いた無理数の証明の典型問題である。 (1)、(2) は (3) のための誘導であり、(3) は (4) のための誘導となっている。前の小問の結果をうまく利用して論証を進めることが重要である。 (1) では、整数を $5$ で割った余りで分類する。合同式を用いると簡潔に記述できる。 (2) は、(1) の結果を用いて対偶を示すのが最も簡明である。 (3) は背理法の有名な証明であり、「互いに素な自然数」と仮定して矛盾を導く定石を用いる。 (4) は和が有理数であると仮定し、無理数 $\sqrt{5}$ だけを分離するように式変形を行うことがポイントである。その際、割る式である $2r$ が $0$ にならないことの確認を忘れないように注意が必要である。