数学1 必要条件十分条件問題 2 解説

方針・初手

条件 $p$ が条件 $q$ の十分条件であるが、必要条件でないことを示すには、命題「$p \implies q$」が真であり、かつ命題「$q \implies p$」が偽である（反例が存在する）ことを示せばよい。必要条件であるが、十分条件でないことを示すには、命題「$q \implies p$」が真であり、かつ命題「$p \implies q$」が偽である（反例が存在する）ことを示せばよい。真であることを示す場合は文字式を用いて論証し、偽であることを示す場合は具体的な反例を1つ挙げる。

解法1

(1)

$n-1$ が $7$ の倍数であるとき、整数 $k$ を用いて $n-1 = 7k$ と表せる。

このとき、因数分解の公式を用いて $n^3-1$ を変形すると、

$$ n^3 - 1 = (n-1)(n^2+n+1) = 7k(n^2+n+1) $$

となる。

$n$ は正の整数であるから、$k(n^2+n+1)$ は整数であり、$n^3-1$ は $7$ の倍数となる。

よって、$n-1$ が $7$ の倍数であることは、$n^3-1$ が $7$ の倍数であることの十分条件である。

一方、$n=2$ のとき、

$$ n^3-1 = 2^3-1 = 7 $$

となり $n^3-1$ は $7$ の倍数であるが、

$$ n-1 = 2-1 = 1 $$

は $7$ の倍数ではない。

よって、$n^3-1$ が $7$ の倍数であっても $n-1$ が $7$ の倍数であるとは限らないため、必要条件ではない。

以上より、$n-1$ が $7$ の倍数であることは、$n^3-1$ が $7$ の倍数であることの十分条件だが、必要条件でないことが示された。

(2)

$m^2$ が $n^2$ の倍数であるとき、整数 $l$ を用いて $m^2 = l n^2$ と表せる。

式を変形すると、

$$ m^2 = (ln) n $$

となる。

$m, n$ は正の整数であるから、$m^2 = l n^2$ を満たす $l$ も正の整数であり、$ln$ は整数である。

よって、$m^2$ は $n$ の倍数となるため、必要条件である。

一方、$m=2, n=4$ のとき、$m^2=4, n^2=16$ となる。

このとき、$m^2$ は $n$ の倍数（$4$ は $4$ の倍数）であるが、$n^2$ の倍数（$4$ は $16$ の倍数）ではない。

よって、$m^2$ が $n$ の倍数であっても $m^2$ が $n^2$ の倍数であるとは限らないため、十分条件ではない。

以上より、$m^2$ が $n$ の倍数であることは、$m^2$ が $n^2$ の倍数であることの必要条件だが、十分条件でないことが示された。

解説

必要条件・十分条件の判定と証明を行う基本問題である。「$p$ は $q$ の十分条件」とは命題 $p \implies q$ が真であること、「$p$ は $q$ の必要条件」とは命題 $q \implies p$ が真であることを意味する。命題が真であることを証明する際には定義に基づいて式変形を行い、偽であることを証明する際には具体的な反例を1つ提示すればよい。

(1) における反例は、合同式を用いて探すと見つけやすい。$n^3 \equiv 1 \pmod 7$ となる $n$ は $n \equiv 1, 2, 4 \pmod 7$ のときであるため、$n=2$ や $n=4$ が反例として挙げられる。

(2) における反例は、$m^2$ が $n$ の倍数でありながら $n^2$ よりも小さくなるような具体的な整数の組み合わせ（$m=2, n=4$ や $m=3, n=9$ など）を考えれば容易に見つけることができる。